x趋于零(1+x)的1/x次幂减去e的差除以x的极限,是等于-e/2么?怎么算的?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 20:11:34
x趋于零(1+x)的1/x次幂减去e的差除以x的极限,是等于-e/2么?怎么算的?
答案是-e/2
(1+x)^(1/x)=e^[ln(1+x)/x]
分子(1+x)^(1/x)-e=e×[ e^(ln(1+x)/x-1)-1]
x→0时,e^x-1等价于x,所以e^(ln(1+x)/x-1)-1等价于ln(1+x)/x-1
所以,
lim(x→0) [(1+x)^(1/x)-e]/x
=e×lim(x→0) [ln(1+x)/x-1]/x
=e×lim(x→0) [ln(1+x)-x]/x^2
=e×lim(x→0) [1/(1+x)-1]/2x 使用了洛必达法则
=e×lim(x→0) [-x/(1+x)]/2x
=-e/2
一开始直接使用洛必达法则也可
(1+x)^(1/x)=e^[ln(1+x)/x]
分子(1+x)^(1/x)-e=e×[ e^(ln(1+x)/x-1)-1]
x→0时,e^x-1等价于x,所以e^(ln(1+x)/x-1)-1等价于ln(1+x)/x-1
所以,
lim(x→0) [(1+x)^(1/x)-e]/x
=e×lim(x→0) [ln(1+x)/x-1]/x
=e×lim(x→0) [ln(1+x)-x]/x^2
=e×lim(x→0) [1/(1+x)-1]/2x 使用了洛必达法则
=e×lim(x→0) [-x/(1+x)]/2x
=-e/2
一开始直接使用洛必达法则也可
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