已知平面上一定点c（4,0）和一定直线L：x=1,p为该平面上的一动点,作PQ⊥L,垂足为Q,且（向量PC+2向量PQ）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 17:07:10

已知平面上一定点c（4,0）和一定直线L：x=1,p为该平面上的一动点,作PQ⊥L,垂足为Q,且（向量PC+2向量PQ）×（向量PC-2向量PQ）=0
（1）问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程；
（2）设直线L：y=kx+1与（1）中的曲线交与不同的两点A,B.是否存在实数K,使得以线段AB为直径的圆过点D（0,-2）?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.

(1) P(x, y), C(4, 0), Q(1, y)
向量PC = (4-x, 0-y) = (4-x, -y)
向量PQ = (1-x, 0)
2向量PQ = (2-2x, 0)
向量PC+2向量PQ = (4 - x +2 -2x, -y + 0) = (6 - 3x, -y)
向量PC- 2向量PQ = (4 - x - 2 + 2x, -y - 0) = (2 + x, -y)
(6-3x)(2+x) + (-y)^2 = 0
3x^2 -y^2 = 12
(2) 3x^2 -y^2 = 12, y = kx +1
解得A( [k - √(39-12k^2)]/(3-k^2), [3 - √(39-12k^2)]/(3-k^2) ) (k^2 ≠ 3)
B([k + √(39-12k^2)]/(3-k^2), [3 + √(39-12k^2)]/(3-k^2) )
AB的中点为圆心E(k/(3-k^2), 3/(3-k^2))
AB为直径d, d^2 = { [k - √(39-12k^2)]/(3-k^2) - k + √(39-12k^2)]/(3-k^2) }^2 +
{ [3 - √(39-12k^2)]/(3-k^2) - [3 + √(39-12k^2)]/(3-k^2) }^2
= 4(1+k^2)(39-12k^2)/(3-k^3) (1)
= 4r^2
r^2 = (1+k^2)(39-12k^2)/(3-k^3)
ED为半径r, r^2 = [k/(3-k^2) - 0]^2 + [ 3/(3-k^2) +2]^2 = (4k^4-35k^2+81)/(3-k^2)^2 (2)
由(1)(2),
(1+k^2)(39-12k^2) = 4k^4-35k^2+81
8k^4 -31k^2 + 21 = 0
(8k^2 - 7)(k^2 -3) = 0
k^2 = 7/8 或 k^2 = 3 (舍去)
k = ±√(7/8) = ±(√14)/4

已知平面上一定点c（4,0）和一定直线L：x=1,p为该平面上的一动点,作PQ⊥L,垂足为Q,且（向量PC+2向量PQ）已知平面上一定点C（2,0）和直线L：Χ＝8,垂足于Q,且(向量PC＋1/2向量PQ)·（向量PC-1/2向量PQ）=0 已知平面上一个定点C（-1,0）和一条定直线Lx=-4,P为该平面上一动点,作PQ⊥L, 已知平面上两定点c(-1,0),D(1,0)和一定直线l:x=-4,P为该平面上一动点,做PQ⊥l, 已知平面上一个定点C(-1,0)和一条定直线l:x=-4,P为该平面上一动点,作PQ垂直于l,垂足为已知F（1,0）,直线l：x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为Q,且向量QP*向量QF=向量FP*向量已知定点F(2,0),直线l:x=-2,点P为坐标平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且向量FQ⊥向量（PF+ 1.已知点F（0,1）,直线l：y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且向量QP*QF-FP*FQ 已知曲线C的方程为y=2X平方-4X+4,点p（-3,0）为一定点,Q为曲线C上的任一点,在线段PQ上有一点M,满足向量已知椭圆x^2/4+y^2/9=1上任意一点P,由点P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在PQ上,且向量PM=2向量MQ 已知在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（2，1），P（2，4），点Q是y轴上的一动点，连接PQ，作QR⊥PQ交x 已知C（-3,0）,P在y轴上,Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足向量CP*向量PM=0向量PM=1/2向量M