这是利用函数的单调行证明不等式
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/28 03:06:43
这是利用函数的单调行证明不等式
证明:当x≠0时e^x>1+x.
这是书上的例题,书上是这样解的
证 设f(x)=e^x-(1+x),则f(0)=0,且f'(x)=e^x-1
由此可见,当x>0时f'(x)>0,从而f(x)在区间[0,+∞)
上单调增加.当x<0时f'(x)<0,从而f(x)在区间(-∞,0]上单调减少
所以,x≠0时都有f(x)>f(0)=0,即
f(x)=e^x-(1+x)>0 (x≠0)
我还是没看懂为什么 x≠0时f(x)>f(0)=0
前面也就是说明了f'(x)>0和<0的单调区间
这并不能说明f(x)>0
证明:当x≠0时e^x>1+x.
这是书上的例题,书上是这样解的
证 设f(x)=e^x-(1+x),则f(0)=0,且f'(x)=e^x-1
由此可见,当x>0时f'(x)>0,从而f(x)在区间[0,+∞)
上单调增加.当x<0时f'(x)<0,从而f(x)在区间(-∞,0]上单调减少
所以,x≠0时都有f(x)>f(0)=0,即
f(x)=e^x-(1+x)>0 (x≠0)
我还是没看懂为什么 x≠0时f(x)>f(0)=0
前面也就是说明了f'(x)>0和<0的单调区间
这并不能说明f(x)>0
要理解单调的意思.
在区间[0,+∞) 上单调增加,说明对于任意的0
在区间[0,+∞) 上单调增加,说明对于任意的0