已知定义在R上的函数f(x)=x2(2ax-3),其中a为常数.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/23 07:43:01
已知定义在R上的函数f(x)=x2(2ax-3),其中a为常数.
( I)若a≥0,求证:函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数;
( II)若函数g(x)=g(x)+f′(x),x∈[0,1],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
( I)若a≥0,求证:函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数;
( II)若函数g(x)=g(x)+f′(x),x∈[0,1],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
( I)当a=0时,f(x)=-3x2在区间(-∞,0)上是增函数,
当a>0时,f′(x)=6ax2-6x=6ax(x-
1
a),x<0,∴f′(x)>0
∴函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,
综上得,当a≥0时,函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数.…(4分)
( II)当a>0,g(x)=2ax3-(3-6a)x2-6x,x∈[0,1]…(6分)
g′(x)=6ax2-2(3-6a)x-6=6[ax2-(1-2a)x-1],x∈[0,1]
令g′(x)=0,即ax2-(1-2a)x-1①,△=4a2+1>0,…(8分)
设方程①的两个根为x1,x2,由x1,x2由①式得x1•x2=-
2
a<0,不妨设x1<0<x2,.
当0<x2<1时,g(x2)为极小值,所以g(x)在[0,1]上的最大值只能为g(0)或g(1);
…(10分)
当x2≥1时,由于g(x)在[0,1]上是单调递减函数,所以最大值为g(0),
所以在[0,1]上的最大值只能为g(0)或g(1),…(12分)
又已知g(x)在x=0处取得最大值,所以g(0)≥g(1)即0≥8a-9,解得
a≤
9
8,又因为a>0,所以a∈(0,
9
8].…(14分)
当a>0时,f′(x)=6ax2-6x=6ax(x-
1
a),x<0,∴f′(x)>0
∴函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,
综上得,当a≥0时,函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数.…(4分)
( II)当a>0,g(x)=2ax3-(3-6a)x2-6x,x∈[0,1]…(6分)
g′(x)=6ax2-2(3-6a)x-6=6[ax2-(1-2a)x-1],x∈[0,1]
令g′(x)=0,即ax2-(1-2a)x-1①,△=4a2+1>0,…(8分)
设方程①的两个根为x1,x2,由x1,x2由①式得x1•x2=-
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a<0,不妨设x1<0<x2,.
当0<x2<1时,g(x2)为极小值,所以g(x)在[0,1]上的最大值只能为g(0)或g(1);
…(10分)
当x2≥1时,由于g(x)在[0,1]上是单调递减函数,所以最大值为g(0),
所以在[0,1]上的最大值只能为g(0)或g(1),…(12分)
又已知g(x)在x=0处取得最大值,所以g(0)≥g(1)即0≥8a-9,解得
a≤
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8,又因为a>0,所以a∈(0,
9
8].…(14分)
已知:定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
已知定义在R上的函数f(x)=x2(2ax-3),其中a为常数.
已知定义在R上的函数f(x)=x^2(2ax-3),其中a为常数.
已知定义在R上的函数f(x)=x^2(ax-3),其中a为常数
定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,则 a的
已知定义在R上的函数f(x)=ax^3-3x^2,其中a为大于零的常数.
已知定义在R上的函数f(x)=ax^3-3x^2,其中a为大于零恶常数.
已知定义在R上的函数f(x)=x的平方(ax-3),其中a为常数,若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值.
已知定义在R上的函数f(x)=x*x(ax-3),其中a为常数.若当x=1时,函
已知定义在R上的函数f(x)=x2-(3-a)x+2(1-a)(其中a∈R).
已知定义在R上的函数f(x)=x^2(ax-3),其中a为常数.若a≥0求证:函数f(x)在区间(-∞,