1.证明对于每个正整数n,n^2+5n+16不能被169整除
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 04:14:31
1.证明对于每个正整数n,n^2+5n+16不能被169整除
2.正整数a,b,c,d都可以被正整数ab-cd整除,证明ab-cd=1
3.证明1*2*3*…2001+2002*2003*…4002能被4003整除
希望诸位高人多多指点,小女子在这里谢过了
2.正整数a,b,c,d都可以被正整数ab-cd整除,证明ab-cd=1
3.证明1*2*3*…2001+2002*2003*…4002能被4003整除
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【1解】:
169=13^2,若:n^2+5n+16=0 (mod 169)
则:n^2+5n+16=0 (mod 13)
即:(n+2)(n+3)=3 (mod 13)
解得:n=4 (mod 13)
记n=13k+4,代入得:
n^2+5n+16=(13k+4)^2+5*(13k+4)+16
=169k^2+169k+52=52 (mod 169),矛盾.
所以对于任意正整数n,n^2+5n+16≠0 (mod 169)
得证.
【2解】:
记:ab-cd=m∈N
记:n=1/m=1/(ab-cd)=(ab-cd)/(ab-cd)^2=(a/m)(b/m)-(c/m)(d/m)
因为a=0 (mod m);b=0 (mod m);c=0 (mod m);d=0 (mod m);
则:n∈Z
又mn=1,所以m=n=1
即:ab-cd=1
故得证.
【3解】:
2002*2003*…4002=(4003-1) (4003-2)……(4003-2001)
根据多项式展开可知:
2002*2003*…4002=(-1)^2001×(2001!) (mod 4003)
所以:1*2*3*…2001+2002*2003*…4002=0 (mod 4003)
故得证.
169=13^2,若:n^2+5n+16=0 (mod 169)
则:n^2+5n+16=0 (mod 13)
即:(n+2)(n+3)=3 (mod 13)
解得:n=4 (mod 13)
记n=13k+4,代入得:
n^2+5n+16=(13k+4)^2+5*(13k+4)+16
=169k^2+169k+52=52 (mod 169),矛盾.
所以对于任意正整数n,n^2+5n+16≠0 (mod 169)
得证.
【2解】:
记:ab-cd=m∈N
记:n=1/m=1/(ab-cd)=(ab-cd)/(ab-cd)^2=(a/m)(b/m)-(c/m)(d/m)
因为a=0 (mod m);b=0 (mod m);c=0 (mod m);d=0 (mod m);
则:n∈Z
又mn=1,所以m=n=1
即:ab-cd=1
故得证.
【3解】:
2002*2003*…4002=(4003-1) (4003-2)……(4003-2001)
根据多项式展开可知:
2002*2003*…4002=(-1)^2001×(2001!) (mod 4003)
所以:1*2*3*…2001+2002*2003*…4002=0 (mod 4003)
故得证.
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