作业帮证明抽样分布中的一个定理
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/05 19:37:21
证明抽样分布中的一个定理
xi为取自总体x∽N(u,σ2) 的样本,S2为样本方差,
证明（n-1）S2/σ2服从卡方分布X2 (n-1),关键是要说明为什么自由度的n-1
xi为取自总体x∽N(u,σ2) 的样本,S2为样本方差,
证明（n-1）S2/σ2服从卡方分布X2 (n-1),关键是要说明为什么自由度的n-1
xi为取自总体x∽N(u,σ2)
显然,肯定有
(xi-u)/σ∽N(0,1) ,即服从标准正态分布
而根据卡方分布定义,
（当xi服从标准正太分布时,xi^2服从卡方分布,且当被抽样数为n时,其自由度为n,）
则可知：
∑(xi-u)^2/σ^2∽X2 (n）
S^2 =1/(n-1)*∑(xi-x~)^2
而σ2=1/n*∑(xi-u)^2
所以,
有：
（n-1）S^2/σ^2=[（n-1）*1/(n-1)*∑(x-x~)^2]/σ^2
=∑(x-x~)^2/σ^2
问题就在x~为样本均值,样本空间为n-1.而不是总体均值u,空间为n
即如果将中的总体均值 μ 用样本平均数 代替,即得,它是否也服从χ2分布呢?理论上可以证明,它是服从χ2分布的,但是参数不是 n 而是 n-1 了,究其原因在于它是 n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和
显然,肯定有
(xi-u)/σ∽N(0,1) ,即服从标准正态分布
而根据卡方分布定义,
（当xi服从标准正太分布时,xi^2服从卡方分布,且当被抽样数为n时,其自由度为n,）
则可知：
∑(xi-u)^2/σ^2∽X2 (n）
S^2 =1/(n-1)*∑(xi-x~)^2
而σ2=1/n*∑(xi-u)^2
所以,
有：
（n-1）S^2/σ^2=[（n-1）*1/(n-1)*∑(x-x~)^2]/σ^2
=∑(x-x~)^2/σ^2
问题就在x~为样本均值,样本空间为n-1.而不是总体均值u,空间为n
即如果将中的总体均值 μ 用样本平均数 代替,即得,它是否也服从χ2分布呢?理论上可以证明,它是服从χ2分布的,但是参数不是 n 而是 n-1 了,究其原因在于它是 n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和