求对数运算的公式的推导

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 05:49:56

求对数运算的公式的推导

如果 a^b=N（a>0,且a≠1）,那么数b叫做以a为底N的对数记作 b=log(a) N (a>o,a≠1,N>0 .)其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.
将以10为底的对数叫做常用对数并把log(10) N 记为 lg N.
以e为底的对数称为自然对数并把log(e) N 记为 ln N.
零没有对数
a^log(a) N=N （对数恒等式）
　　证：设log(a) N=t,（t∈R）
　　则有a^t=N　
　　a^(log(a)N)=a^t=N.
2、log(a) a=1
　　证：因为a^b=a^b
　　令t=a^b
　　所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
　　令b=1,则1=log(a)a
log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N
　log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N
　log(a) M^n=nlog(a) M
　log(a)b*log(b)a=1
log(a) b=log (c) b÷log (c) a （换底公式）
换底公式的推导：
　　设e^x=b^m,e^y=a^n
　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x÷y
　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)
　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m）÷ln(a^n)
　　由换底公式
　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n）×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
　　再由基本性质5可得
　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

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