证明：级数∑(∞,n→1) sin(π√（n²+1）)是交错级数,并证明该级数条件收敛.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 21:55:36

首先由和差化积应该知道
(-1)^nsin(π√(n²+1)-nπ)
= (-1)^nsin(π√(n²+1))*cosnπ=
(-1)^(2n)*sin(π√(n²+1))=sin(π√(n²+1))
所以sin(π√(n²+1))=(-1)^nsin(π√(n²+1)-nπ)=(-1)^nsin[π/(√(n^2+1)+n)]所以原级数为交错级数
又lim n->无穷 sin[π/(√(n^2+1)+n)]/(1/n)=lim nπ/(√(n^2+1)+n)]=π/2所以sin(π√(n²+1))与调和级数同发散.
又容易知lim(n→无穷)sin1/[√(n²+1)+n]π=0
且容易验证单调性sin1/{[√[(n+1)²+1]+(n+1)]}π≤sin1/[√(n²+1)+n]π
根据莱布尼茨判别法可知,此交错级数收敛.
本身收敛,绝对值发散,所以级数条件收敛.
再问：又lim n->无穷 sin[π/(√(n^2+1)+n)]/(1/n)=lim nπ/(√(n^2+1)+n)]=π/2所以sin(π√(n²+1))与调和级数同发散。中间的为什么sin 不见了
再答：因为n趋近无穷的时候 π/(√(n^2+1)+n)->0，当x趋近0时，sinx~x sinπ/(√(n^2+1)+n)和π/(√(n^2+1)+n)是等价无穷小，所以两者可以替代。

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