【高一数学】定义域为(-1,1)上的奇函数f(X),当x∈(0,1)时,f(x)=(2^x)÷(1+4^x)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/11 02:17:47
【高一数学】定义域为(-1,1)上的奇函数f(X),当x∈(0,1)时,f(x)=(2^x)÷(1+4^x)
①、求f(x)的解析式
②、判断并证明f(x)在其定义域上的单调性
③、当m为何值时,方程f(x)=m在(0,1)上有解
①、求f(x)的解析式
②、判断并证明f(x)在其定义域上的单调性
③、当m为何值时,方程f(x)=m在(0,1)上有解
1)因为是奇函数,所以f(0)=0,-1<x<0时,0<-x<1,所以f(-x)=(2^(-x))/(1+4^(-x))=(2^x)/(1+4^x) 因为f(-x)=-f(x),所以,f(x)=-(2^x)/(1+4^x) ,
综上所述,f(x)=-(2^x)/(1+4^x) -1<x<0
(2^x)/(1+4^x) 0<x<1
0 x=0
2)单调递减
因为是奇函数,所以只需要证明一边,设0<a<b<1,则,f(a)-f(b)=(2^a+2^a*4^b-2^b-2^b*4^a)/(1+4^a)(1+4^b) 因为分母恒大于0,所以判断分子符号:2^a+2^a*4^b-2^b-2^b*4^a=2^a-2^b+2^a*4^b-2^b*4^a=2^a-2^b+2^(a+b)*(2^b-2^a)=(2^b-2^a)*(2^(a+b)-1)
0<a<1,0<b<1,所以0<a+b,2^(a+b)>1,又2^a<2^b,所以f(a)-f(b)>0所以函数单调递减.
3)因为函数单调递减,所以最小值趋近于f(1)=2/5,最大值不会求(我给你的图是整个y=(2^x)÷(1+4^x)的)
有解可以看成两函数图像有交点,y1=f(x),y2=m是平行于x轴的直线,所以这条直线位于2/5和最大值之间,也就是m在这个范围内,并且2/5和最大值都不能取.能力所限,抱歉. 我估测最大值是1/2.
综上所述,f(x)=-(2^x)/(1+4^x) -1<x<0
(2^x)/(1+4^x) 0<x<1
0 x=0
2)单调递减
因为是奇函数,所以只需要证明一边,设0<a<b<1,则,f(a)-f(b)=(2^a+2^a*4^b-2^b-2^b*4^a)/(1+4^a)(1+4^b) 因为分母恒大于0,所以判断分子符号:2^a+2^a*4^b-2^b-2^b*4^a=2^a-2^b+2^a*4^b-2^b*4^a=2^a-2^b+2^(a+b)*(2^b-2^a)=(2^b-2^a)*(2^(a+b)-1)
0<a<1,0<b<1,所以0<a+b,2^(a+b)>1,又2^a<2^b,所以f(a)-f(b)>0所以函数单调递减.
3)因为函数单调递减,所以最小值趋近于f(1)=2/5,最大值不会求(我给你的图是整个y=(2^x)÷(1+4^x)的)
有解可以看成两函数图像有交点,y1=f(x),y2=m是平行于x轴的直线,所以这条直线位于2/5和最大值之间,也就是m在这个范围内,并且2/5和最大值都不能取.能力所限,抱歉. 我估测最大值是1/2.
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