积分是微分的反导函数,它们之间为什么是这种关系?是怎样证明的呢?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/31 04:52:35

已知一个函数F(x)导数为f(x),则对f(x)积分就能得到F(x)；反之,若已知函数f(x)的积分F(x),则对F(x)求导就能得到f(x),所以积分和微分互逆.
再问：你这是已知答案，不是证明呀。
再答：设∫f(x)dx=F(x)+C, 故(∫f(x)dx)'=[F(x)+C]'=f(x)，这表明函数f(x)先积分再微分就回到f(x)了；反之, ∫F'(x)dx=F(x)+C，这是对F(x)先求导再积分，又回到F(x)（不过这里多了一个任意常数）
再问：这个还是没看懂。导数有一个通用定义式：f'(x)=lim { f(x+h)-f(x)}/h (h->0，这里打不到lim下面去)，这个定义式是很好理解的，书上也给出了推理过程。我们可以用这个定义式求微分。但是，积分有没有这样一个通用定义式呢？有的话是怎样推理得来的？
再答：是这样的，函数的不定积分定义为函数的一个原函数+C，定积分有一个极限的定义形式： ∫[a,b]f(x)dx=lim∑f(ζi)△xi，这个定义就远比导数的定义复杂得多了。不定积分和定积分是不同的。
再问：定积分的公式是推导得来的，这个书上有，也很好理解。但是：不定积分不可能是靠定义得来的，只有公里是不需要证明的。其它的定理，定义是需要证明才能确定它们的准确性的。
再答：不是这样的，定义就是公理，不需要证明，它是指满足某种条件就是什么什么之类的

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