如图,在三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,BE平分角ABC交AD于F,交AC于E,求证AB^2-AE^

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/01 23:20:35

如图,在三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,BE平分角ABC交AD于F,交AC于E,求证AB^2-AE^2=BF*BE(谢谢

AB^2-AE^2=BF*BE
等价于BE^2-AE^2-AE^2=BF*BE
等价于2AE^2=BE*EF
等价于2AE/EF=BE/AE---------------------*
设角EAF=a,则角AFE=角ABF+角BAF=a/2+90-a=90-a/2
角AEF=90-角ABE=90-a/2
所以角AEF=角AFE
所以AE=AF
则2AE/EF=AE/(EF/2)=1/cos(90-a/2)=1/sin(a/2)
BE/AE=1/cos角AEB=1/cos(90-a/2)=1/sin(a/2)
即*式成立
综上,AB^2-AE^2=BF*BE
再问：谢谢，厉害！能不用三角函数，只用直角三角形定理相关内容证明吗
再答：上面解答有两段对于第二段：过A做AK垂直于BE，垂足为K 易证三角形AKE相似于三角形BAE 则2AE/EF=AE/(EF/2)=BE/AE