急!高一数学,某生态园要对一块长为1km的正方形区域ABCD进行规划,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/01 19:41:23
急!高一数学,某生态园要对一块长为1km的正方形区域ABCD进行规划,
某生态园要对一块长为1km的正方形区域ABCD进行规划,设计如图所示的三条参观路线.具体设计方案如下:从A点出发到达BC边上的P点,然后从P点出发到达CD边上的Q点,在直接回到A点,其中要求∠PAQ=45°,设∠PAB=Θ,tanΘ=t. ⑴用t表示路径AQ的长度; ⑵将△APQ的面积表示为t的函数f(t),并注明其定义域; ⑶要使△APQ的面积最小,应如何确定点P的位置
(1).
∠PAB=45°-∠QAD=θ tanθ=t
tan(∠QAD)=tan(π/4-θ)=(1+tanθ)/(1-tanθ)=(1+t)/(1-t)=QD/DA=QD
故AQ=√(1+(1+t)²/(1-t)²)
(2).
PB=t PC=1-t DQ=(1+t)/(1-t) CQ=1-(1+t)/(1-t)=2t/(t-1)
f(t)=1-1/2 [ t + (1-t)*2t/(t-1) + (1+t)/(1-t)]=1-1/2 [ (1+t)/(1-t) - t ]
=1/2-1/2 [2t/(1-t)-t] ①
定义域为(0,1)
(3).
要求面积最大值,即 求[2t/(1-t)-t]的最小值
[2t/(1-t)-t]=(t²+t)/(t-1)
求导,[(2t+1)(t-1)-(t²-t)]/(t-1)²
由于分母大于0只看分子,t²+2t-1,
可知在(0,√2-1)时,小于0;在(√2-1,1)上,大于0.
故在t=√2-1有最小值.
纯属口算,过程如有错误,请见谅,不过思路是正确的.
如有不懂的地方欢迎追问.
∠PAB=45°-∠QAD=θ tanθ=t
tan(∠QAD)=tan(π/4-θ)=(1+tanθ)/(1-tanθ)=(1+t)/(1-t)=QD/DA=QD
故AQ=√(1+(1+t)²/(1-t)²)
(2).
PB=t PC=1-t DQ=(1+t)/(1-t) CQ=1-(1+t)/(1-t)=2t/(t-1)
f(t)=1-1/2 [ t + (1-t)*2t/(t-1) + (1+t)/(1-t)]=1-1/2 [ (1+t)/(1-t) - t ]
=1/2-1/2 [2t/(1-t)-t] ①
定义域为(0,1)
(3).
要求面积最大值,即 求[2t/(1-t)-t]的最小值
[2t/(1-t)-t]=(t²+t)/(t-1)
求导,[(2t+1)(t-1)-(t²-t)]/(t-1)²
由于分母大于0只看分子,t²+2t-1,
可知在(0,√2-1)时,小于0;在(√2-1,1)上,大于0.
故在t=√2-1有最小值.
纯属口算,过程如有错误,请见谅,不过思路是正确的.
如有不懂的地方欢迎追问.
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