作业帮请通过例题讲解一下,圆锥曲线（圆,双曲线,椭圆,抛物线）,如何求方程,最好把各类的题都总结一下．谢谢!（请附带讲解过程．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/08 01:12:42
请通过例题讲解一下,圆锥曲线（圆,双曲线,椭圆,抛物线）,如何求方程,最好把各类的题都总结一下．谢谢!（请附带讲解过程．）
关于求圆锥曲线方程的方法
高考要求
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法
重难点归纳
一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置
定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小
典型题例示范讲解
例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部
分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其
中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径
的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA
′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立
坐标系并写出该双曲线方程
命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方
程和解方程组的基础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力
知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上,点的坐标适合方程；积分法求体积
错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键
技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程
解 如图,建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上,AA
′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴
设双曲线方程为 =1(a＞0,b＞0),则a= AA′
=7
又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上,所以
有
由题意,知y2－y1=20,由以上三式得 y1=－12,y2=8,b=7
故双曲线方程为 =1
例2过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上
且离心率为 的椭圆C相交于A、B两点,直线y= x
过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关
于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程
命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强
知识依托 待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题
错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键
技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二,用韦达定理
解法一 由e= ,得 ,从而a2=2b2,c=b
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
设AB中点为(x0,y0),则kAB=－ ,又(x0,y0)在直线y= x上,y0= x0,于是－ =－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),
由点(1,1－b)在椭圆上,得1+2(1－b)2=2b2,b2=
∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1
解法二 由e= ,从而a2=2b2,c=b
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),
将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2= ,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－
直线l y= x过AB的中点( ),则 ,解得k=0,或k=－1
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=－1,直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一
例3如图,已知△P1OP2的面积为 ,P为线段
P1P2的一个三等分点,求以直线OP1、OP2为渐近
线且过点P的离心率为 的双曲线方程
命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方
程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的
能力
知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上,点的坐标适合方程
错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键,正确地表示出
△P1OP2的面积是学生感到困难的
技巧与方法 利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建
立关于参数a、b的两个方程,从而求出a、b的值
解 以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图
的直角坐标系
设双曲线方程为 =1(a＞0,b＞0)
由e2= ,得
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y= x和y=－ x
设点P1(x1,x1),P2(x2,－ x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分 所成的比λ= =2,得P点坐标为( ),又点P在双曲线 =1上,所以 =1,
即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①
即x1x2= ②
由①、②得a2=4,b2=9
故双曲线方程为 =1
高考要求
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法
重难点归纳
一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置
定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小
典型题例示范讲解
例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部
分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其
中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径
的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA
′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立
坐标系并写出该双曲线方程
命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方
程和解方程组的基础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力
知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上,点的坐标适合方程；积分法求体积
错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键
技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程
解 如图,建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上,AA
′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴
设双曲线方程为 =1(a＞0,b＞0),则a= AA′
=7
又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上,所以
有
由题意,知y2－y1=20,由以上三式得 y1=－12,y2=8,b=7
故双曲线方程为 =1
例2过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上
且离心率为 的椭圆C相交于A、B两点,直线y= x
过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关
于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程
命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强
知识依托 待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题
错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键
技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二,用韦达定理
解法一 由e= ,得 ,从而a2=2b2,c=b
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
设AB中点为(x0,y0),则kAB=－ ,又(x0,y0)在直线y= x上,y0= x0,于是－ =－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),
由点(1,1－b)在椭圆上,得1+2(1－b)2=2b2,b2=
∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1
解法二 由e= ,从而a2=2b2,c=b
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),
将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2= ,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－
直线l y= x过AB的中点( ),则 ,解得k=0,或k=－1
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=－1,直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一
例3如图,已知△P1OP2的面积为 ,P为线段
P1P2的一个三等分点,求以直线OP1、OP2为渐近
线且过点P的离心率为 的双曲线方程
命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方
程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的
能力
知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上,点的坐标适合方程
错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键,正确地表示出
△P1OP2的面积是学生感到困难的
技巧与方法 利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建
立关于参数a、b的两个方程,从而求出a、b的值
解 以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图
的直角坐标系
设双曲线方程为 =1(a＞0,b＞0)
由e2= ,得
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y= x和y=－ x
设点P1(x1,x1),P2(x2,－ x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分 所成的比λ= =2,得P点坐标为( ),又点P在双曲线 =1上,所以 =1,
即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①
即x1x2= ②
由①、②得a2=4,b2=9
故双曲线方程为 =1