求2008年高中数学联赛福建省预赛试题,要答案和题,不要扫描的

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二008年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题参考解答及评分标准
说明:1.选择,填空题只按0分与满分两档给分,不设中间档次.
2.解答题5分一个档次.如果考生的解法与参考解答不同.可参照本标准酌情给分.
一. 选择题(每小题4分,共24分)
1 2 3 4 5 6
A C D A B B

二. 填空题 (每小题6分,共36分)
7 8 9 10 11 12
60 15 －
( －arcsin )

6
三. 解答题
13. 设 u = sin x + cos x , 则 sin x cos x = ( u2 － 1 ) .
sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = u + , ( 5 分 )
当 u > 1 时 , f ( x ) = 1 + u －1 + 1 + 2 . ( 5 分 )
当 u < 1 时 , f ( x ) = －1 + 1－u + 2 －1 ( u = 1－ 时等号成立 ) . ( 5 分) 因此, f ( x ) 的最小值是 2 －1 . ( 5 分 )
14. 令 A, B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,( x 2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y = kx + b , 代入椭圆方
程整理得: (4k2 +1)x2 + 8kbx + 4(b2－2) = 0 . 故 x1 + x2 =－ , x1x2 = . ( 5 分 )
由 = AB2 = (k2+1)(x2－x1)2 = (k2+1)((x1+x 2)2－4 x1x2) = (2(4k2+1)－b2) 得到
b2 = 2 (4k2+1)－ ( 5 分)
原点O 到 AB 的距离为 , AOB 的面积 S = , 记 u = , 则有
S 2= － (u 2－ u ) = 4－ (u－ )2 ( 5 分)
u = 4－ 的范围为 , (u = 4 为竖直弦 ). 故 u = 时, max S 2 = 4 , 而 u = 1
时, min S 2 = , 因此 S 的 取值范围是 . ( 5 分)
15. (1) 观察前几项: a , b , , , , , ,… 猜测: x2 k-1 = ,
x2k = ,( k 1 ). ( 5 分 )
对k 归纳证明通项公式: k =1 显然成立,设 x 2 k-1, x2k 如上,则x2k+1 = = , x2k+2 = 2x2k+1－x2k= , 因此, 公式成立 . ( 5 分 )
存在这样的无穷数列 所有的 x n 0 . ( 5 分 )
(2) b a 时, = ( ),故
= = nb－(n－1)a .( b = a 时所有的x n = a ,结果也对). ( 5 分 )
16. (1) 不存在. ( 5 分)
记 S k = .当 n = 2m+1 时 ( m 2 ), 由 2m | S 2 m 及S 2 m= － (2m+1) 得 (2m+1) m+1(mod 2m), 但 (2m+1) A 2m+1,故 (2m+1)= m+1.再由 2m－1 | S2m－1
及S2m－1= －(m+1)－ (2m) 得 (2m) m+1(mod 2m－1),又有 (2m)= m+1,与
的一一性矛盾. ( 5 分)
当 n = 2m+2 时 ( m 2 ), S2m+1= － (2m+2) 给出 (2m+2)=1 或 2m+2,
同上又得 (2m+1)= (2m)= m+2 或 m+1 ,矛盾. ( 5 分)
(2) 存在. 对n 归纳定义 (2n－1)及 (2n) 如下： ( 5 分)
令 (1)=1, (2)=3 .设已定义出不同的正整数值 (k) (1 k 2n)满足整除条件且包含 1,2,…,n ,设 v 是未取到的最小正整数值,由于 2n+1 与 2n+2 互素,根据孙子定理,存在不同于v及
(k) (1 k 2n)的正整数u满足同余式组 u －S2n(mod 2n+1) －S2n－v (mod 2n+2) . ( 5 分)
定义 (2n+1)=u, (2n+2)=v .则正整数 (k) ( 1 k 2n+2 )也互不相同,满足整除条件,且包含
1,2,…,n+1 .根据数学归纳法原理,已经得到符合要求的一一映射 ：N* N*. ( 5 分)
附：选择、填空题简
1. 2x+4y 2 = 4 . x = , y = 时取最小值, 此时 = .
2.设渐近线y = x 的倾斜角为 , 1 + = e2 , tan = , , 故 = min｛2 , －2 ｝ .
3. 事件 “4个数均为奇数”的概率p1= = ,事件“3个为奇数,1个为2”的概率p2=
= . 故p =1－p1－p2 = .
4. 共比赛12+21－8 = 25局,甲当裁判25－12 = 13局.由于同一人不会接连当两局裁判, 故甲
是第1,3,5,……,21,23,25局的裁判, 从而第10局的输方为甲 .
5. 易知a 0. 曲线ax2+bxy+x = 0是两条直线x = 0与ax+by+1 = 0. 直线x = 0与圆
x2+y2－ay=0有两个不同的公共点(0,0), (0,a), 依题意有两种可能：
(1).ax+by+1 = 0与圆x2+(y－ )2 = 相切于第三点. 此时 , 即a4－4ab－4=0;
(2).ax+by+1= 0过点(0,a)且不与坐标轴平行, 此时ab+1= 0.
6. b是y3的一个周期,故t b.若t = a, 则由y2=y3－y1可得b a,矛盾.故”t=a”和”t>b”不可能.
下面的例子表明另外的三种情形都可能出现：取y2 = sinx + sin , 则b = 6 .
(1).令y1 = －sin , 此时a =3 , y3= sinx, t =2 , t < a ;
(2). 令y1 = －sinx, 此时a =2 , y3= sin , t =3 , a < t< b ;
(3). 令y1 = sinx, 此时a = 2 , y3 = 2sinx+sin , t = 6 , t = b ;
7. log x c = log x abc－log x a－log x b = － － = , log c x = 60 .
8. 令x2－8x+c = 0 的两根为 , , 则 + =8. ( , )的不等非负整数值只有(0,8), (1,7),
(2,6), (3,5) 故｛c1,c2,c3, c4｝=｛0,7,12,15｝.
9. u = (x+3)2+(y－1)2－10 .半平面 3x+2y－1 0 中的点到定点 (－3,1) 距离的最小值是
= , 所以 min u = ( )2－10 = － .
10. 在象限图上用区间法求各分界线为 ② ③ ①
(0 k 7) 与方程 cosx = tanx 的解 arcsin , ③ ① 0
－arcsin . ② ① ① ①
由 sinx> cosx 排除区间 ①, 由 tanx> cotx 排除 ②,
由 cosx> tanx 排除 ③, 解集为 ( , －arcsin ) . ,
11. (1) 向量法： 记 = , = , = .由已知条件, | | = | |, a2 + b2－
2 = c2 . 故 = ,同理 = . cos = = .
(2) 几何法： 该四面体各棱是一个长方体的面对角线 , 设长方体三边为 x , y , z , 则
a2 = y2+z2 , b2 = z2+x2 , c2 = x2+y2 . 是 y , z 矩形中两对角线的夹角 , 故
cos = =
12. < x < ab , a 2 , 50 ab－ －1 = ab(1－ )－1 ab－1 , 故 ab 68 .
等号当且仅当 a =2 ,b =34 时成立 , 此时 = 6 .