作业帮线性代数四阶行列式计算
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/08 05:24:51
线性代数四阶行列式计算
2+a 2 2 2
2 2-a 2 2
2 2 2+b 2
2 2 2 2-b
2+a 2 2 2
2 2-a 2 2
2 2 2+b 2
2 2 2 2-b
按照定义算就可以,答案是a^2b^2.
如果对行列式很熟,如下办法会稍微快一点.设最终得到行列式D.
首先,D一定是关于a和b的一个多项式,总次数为4.
其次,当a=0时,前两行相同,故行列式为零,这说明D含有因子a.同理D含有因子b.
故而可设D=ab(x1*a^2 x2*b^2 x3*ab x4*a x5*b x6),(1)
其中的x1,...,x6是常数.
然后,从原行列式观察到互换a和b得到的行列式必相同,故
x1=x2,x4=x5.(2)
然后,观察到D的值在b=a和b=-a时是相同的（因为在这两种情况下,前两行一致,后两行和后两列分别互换即得到相同）.把b=a和b=-a分别代入(1)得到
x1=x2=x5=x6=0.(3)
联立(2)(3)得到x4=0,将它们代入(1)得到D=c*a^2b^2,其中c是常数.
令a=b=2,代入原式,每行除以2（这抵消掉a^2b^2做的贡献）,得到一个0-1四阶矩阵,然后生算它的行列式（注意这比生算原来的行列式容易一些）,值是1,这就是常数c.故而D=a^2b^2.
再问： 安定一算的求详细解答过程QAQ谢谢
再答： 第一行减去第二行得到(a,a,0,0)，提取因子a. 第三行减去第四行得到(0,0,b,b)，提取因子b. 之后得到的矩阵为 1 1 0 0 2 2-a 2 2 0 0 1 1 2 2 2 2-b 第二行减去第三行的2倍得到(2,2-a,0,0). 第四行减去第一行的2倍得到(0,0,2,2-b). 之后得到的矩阵为 1 1 0 0 2 2-a 0 0 0 0 1 1 0 0 2 2-b 它是一个分块矩阵。分别计算左上方和右下方的二阶子阵行列式得到-a和-b。二者相乘得到ab。 乘以第一步的两个因子a和b，最终得到行列式a^2b^2.
如果对行列式很熟,如下办法会稍微快一点.设最终得到行列式D.
首先,D一定是关于a和b的一个多项式,总次数为4.
其次,当a=0时,前两行相同,故行列式为零,这说明D含有因子a.同理D含有因子b.
故而可设D=ab(x1*a^2 x2*b^2 x3*ab x4*a x5*b x6),(1)
其中的x1,...,x6是常数.
然后,从原行列式观察到互换a和b得到的行列式必相同,故
x1=x2,x4=x5.(2)
然后,观察到D的值在b=a和b=-a时是相同的（因为在这两种情况下,前两行一致,后两行和后两列分别互换即得到相同）.把b=a和b=-a分别代入(1)得到
x1=x2=x5=x6=0.(3)
联立(2)(3)得到x4=0,将它们代入(1)得到D=c*a^2b^2,其中c是常数.
令a=b=2,代入原式,每行除以2（这抵消掉a^2b^2做的贡献）,得到一个0-1四阶矩阵,然后生算它的行列式（注意这比生算原来的行列式容易一些）,值是1,这就是常数c.故而D=a^2b^2.
再问： 安定一算的求详细解答过程QAQ谢谢
再答： 第一行减去第二行得到(a,a,0,0)，提取因子a. 第三行减去第四行得到(0,0,b,b)，提取因子b. 之后得到的矩阵为 1 1 0 0 2 2-a 2 2 0 0 1 1 2 2 2 2-b 第二行减去第三行的2倍得到(2,2-a,0,0). 第四行减去第一行的2倍得到(0,0,2,2-b). 之后得到的矩阵为 1 1 0 0 2 2-a 0 0 0 0 1 1 0 0 2 2-b 它是一个分块矩阵。分别计算左上方和右下方的二阶子阵行列式得到-a和-b。二者相乘得到ab。 乘以第一步的两个因子a和b，最终得到行列式a^2b^2.