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若函数y=xlnx-ax2有两个极值点,则实数a的范围是______.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 12:08:23
若函数y=xlnx-ax2有两个极值点,则实数a的范围是______.
由题意,y′=lnx+1-2ax
令f′(x)=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1,
函数y=xlnx-ax2有两个极值点,等价于f′(x)=lnx-2ax+1有两个零点,
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点,
在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)
当a=
1
2时,直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切,
由图可知,当0<a<
1
2时,y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点.
则实数a的取值范围是(0,
1
2).
故答案为:(0,
1
2).
再问: 这一步没看懂,我知道了g‘(x)在x=1时有极值,但2a的范围从哪来?是不是这样:g(x)=(lnx+1)/x,g(x)属于(0,正无穷),又因为已经有极大值点了,所以第二个极值只能是极小值点,所以0<2a<1啊?