人教A版4-1第7页.课本总尼玛这样的——“更一般的,可以证明,当L1//L2//L3,且AB/BC是实数时,（1）式也

人教A版4-1第7页.课本总尼玛这样的——“更一般的,可以证明,当L1//L2//L3,且AB/BC是实数时,（1）式也成立.”
不证明你说个JB呀!‍
本人来自偏僻教育落后地区.望有大神相助于江湖,——让我们这些不学4-1的学生也舔舔油.
他前面证了当AB/BC是有理数时,910式成立.910式就是平行线分线段成比例定理.
本来是要发图的,但他妈的图片怎么就非法了……
（1）就是平行线分线段成比例定理.
就是有理数怎么向实数推广
或者比例是无理数时,怎么证

郭敦顒回答：我不是在职教育工作者,也不是学生,而是个数学爱好者,所以按一般情况回答所提问题—— 当AB/BC是有理数时,910式成立.910式就是平行线分线段成比例定理.如图直线l1∥l2,直线AM分别交l1与l2于B和C,直线AN分别交l1与l2于D和E,当AB/BC是有理数时,910式成立.即当AB/BC=AD/DE成立,这无疑问,问题是当AB/BC是无理数时,AB/BC=AD/DE也成立,为什么?如当AB=a,为无理数；BC= b,为有理数,AB/BC即a/b为无理数,而AD= c=ka,DE=d=kb,k为实数,AD/DE即c/d也为无理数∴AB/BC=a/b,AD/DE=c/d=ka/kb,∵a/b= ka/kb,∴AB/BC=AD/DE也成立.BC是无理数或AB、BC都是无理数时,结论同样成立.             A            a      c           B          D             l1          b              d         C                   E       l2  
       M                        N  再答： 其实证明到(*)处后, 问题已经和几何没关系了, 纯粹是实数性质.

只需要证明: ① 任给实数t, 若实数r小于任意一个大于t的有理数, 则r ≤ t.
② 任给实数t, 若实数r大于任意一个小于t的有理数, 则r ≥ t.
二者结合即得: 任给实数t, 若实数r小于任意一个大于t的有理数,
同时大于任意一个小于t的有理数, 则r = t.
(*)处的等式就是这个命题的结果.

如果证明了①, 那么容易得到②:
对任给的实数t, 若r大于任意一个小于t的有理数, 则-r小于任意一个大于-t的有理数.
由①得-r ≤ -t, 即r ≥ t, ②得证.
因此只需证明①.

证明使用确界原理:
设E是实数集的非空子集, 若E存在上界, 则存在上确界(最小上界);
若E存在下界, 则存在下确界(最大下界).

首先考虑实数集的非空子集D = {1/n | n为正整数}.
易见0是D的一个下界, 由确界原理, D存在下确界, 设为d.
若d > 0, 有2d > d. 由d是D的最大下界, 2d不是D的下界.
即存在正整数n, 使1/n < 2d. 于是1/(2n) < d.
但1/(2n) ∈ D, 与d是D的下界矛盾.
因此d ≤ 0, 这样我们证明了: 任意x > 0都不是D的下界.
也即对任意x > 0, 存在正整数n使1/n < x.

回到①的证明, 用反证法, 假设r > t, 即r-t > 0.
已证存在正整数n使1/n < r-t.
设m = [nr]为不大于nr的最大整数, 即有m ≤ nr < m+1.
于是r < (m+1)/n, 进而有t = r-(r-t) < r-1/n < m/n.
即m/n是大于t的有理数, 但m/n ≤ r, 与①的条件矛盾.
因此r ≤ t, 证毕.