设y=f(x)(x>=0)是严格单调增加的连续函数,f(0)=0,x=h(y)是它的反函数,证明：

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/05 14:49:55

设y=f(x)(x>=0)是严格单调增加的连续函数,f(0)=0,x=h(y)是它的反函数,证明：
f(x)0到a的定积分+h(x)0到b的定积分>=ab(a>=0,b>=0)

要证∫(0,a)f(x)dx+∫(0,b)h(x)dx>=ab,(a>=0,b>=0)
只需证∫(0,a)f(x)dx+∫(0,b)h(y)dy>=ab
由已知得y=f(h(y)),x=h(f(x)),y=f(x)>=f(0)=0,h(y)>=h(0)=h(f(0))=0.于是
∫(0,a) f(x)dx+∫(0,b) h(y)dy=∫(0,a) f(x)dx+∫(0,h(b)) h(f(x))df(x)
=∫(0,a) f(x)dx+h(f(x))f(x)|(0,h(b))-∫(0,h(b)) f(x)dh(f(x))
=∫(0,a)f(x)dx+xf(x)|(0,h(b))-∫(0,h(b))f(x)dx
=h(b)f(h(b))+∫(0,a)f(x)dx)-∫(0,h(b))f(x)dx
=bh(b)+∫(0,a)f(x)dx)-∫(0,h(b))f(x)dx
i)当h(b)=a,有∫(0,a)f(x)dx+∫(0,b)h(x)dx=ab
ii)当h(b)bh(b)+f(h(b))[a-h(b)]=bh(b)+b[a-h(b)]=ab
iii)当h(b)>a,bh(b)+∫(0,a)f(x)dx)-∫(0,h(b))f(x)dx=bh(b)-∫(a,0)f(x)dx-∫(0,h(b)) f(x)dx
=bh(b)-∫(a,h(b)) f(x)dx>bh(b)-f(h(b))[h(b)-a]=bh(b)-b[h(b)-a]=ab
因此∫(0,a) f(x)dx+∫(0,b) h(x)dx>=ab,(a>=0,b>=0)命题成立.
【注：紧跟积分符号后面的为积分区间】

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