一道高一简单数学题求解.求证a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 18:45:19
一道高一简单数学题求解.求证a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c)
a^4+b^4+c^4
=1/2(a^4+b^4+b^4+c^4+c^4+a^4)
=1/2[(a^4-2a^2×b^2+b^4+b^4-2b^2×c^2+c^4-2c^2×a^2+c^4+a^4)+2a^2×b^2+2b^2×c^2+2c^2×a^2]
=1/2[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]+a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
因为[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]≥0
所以
原式=a^4+b^4+c^4 ≥a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
而同理
a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
=1/2[a^2×b^2+b^2×c^2+b^2×c^2
+c^2×a^2+c^2×a^2 +a^2×b^2]
=1/2[a^2×b^2-2acb^2+b^2×c^2+b^2×c^2-2abc^2
+c^2×a^2+c^2×a^2 -2bca^2+a^2×b^2+2acb^2+2abc^2+2bca^2]
=1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+acb^2+abc^2+bca^2
=1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+abc(a+b+c)
因为[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]≥0
所以
a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2 ≥abc(a+b+c)
所以得证
=1/2(a^4+b^4+b^4+c^4+c^4+a^4)
=1/2[(a^4-2a^2×b^2+b^4+b^4-2b^2×c^2+c^4-2c^2×a^2+c^4+a^4)+2a^2×b^2+2b^2×c^2+2c^2×a^2]
=1/2[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]+a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
因为[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]≥0
所以
原式=a^4+b^4+c^4 ≥a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
而同理
a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
=1/2[a^2×b^2+b^2×c^2+b^2×c^2
+c^2×a^2+c^2×a^2 +a^2×b^2]
=1/2[a^2×b^2-2acb^2+b^2×c^2+b^2×c^2-2abc^2
+c^2×a^2+c^2×a^2 -2bca^2+a^2×b^2+2acb^2+2abc^2+2bca^2]
=1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+acb^2+abc^2+bca^2
=1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+abc(a+b+c)
因为[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]≥0
所以
a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2 ≥abc(a+b+c)
所以得证
一道高一简单数学题求解.求证a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c)
已知a.b.c属于R,求证:a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c)
已知,abc>0,求证,b+c/a+c+a/b+a+b/c大于等于6
已知abc属于实数,求证:a平方+b平方+c平方+4大于等于ab+3b+2c
一道高一三角函数题,已知A,B,C为三角形ABC的三个内角,求证;tan(A+B)/4=-tan(3π+C)/4
高三不等式模块数学题已知abc大于等于0,求证a√b+b√c+c√a≤a√a+b√b+c√c(注那个符号是根号)
已知a大于0,b大于0,c大于0,求证bc/a + ac/b + ab/c 大于等于abc
实数abc,满足a>b>c,且a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,求证a+b大于1小于4/3
若三角形ABC的三边分别为a,b,c,面积为S,求证:a^2+b^2+c^2大于等于4根号3S
求证:a平方b平方+b平方c平方+c平方a平方大于等于abc(a+b+c)
已知abc是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c大于等于a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)
已知 b分之a+c=1.求证b的平方 大于等于 4ac.