作业帮求y''-y=x的通解
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/02 17:02:56
求y''-y=x的通解
∵齐次方程y''-y'=0的特征方程是r2-r=0
则特征根是r1=0,r2=1
∴齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^x (C1,C2是积分常数)
设原微分方程的一个特解是y=Ax2+Bx
代入原微分方程得2A-B-2Ax=x
比较两端x的同次幂系数,得2A-B=0.(1)
-2A=1.(2)
接方程组(1)(2),得A=-1/2,B=-1
则原微分方程的一个特解是y=-(x/2+1)x=-x(x+2)/2
故原微分方程的通解是y=(C1x+C2)e^x-(x+2)x/2 (C1,C2是积分常数)
再问： 小哥你看错题目了
再答： 不好意思，看错了 y'-y=x 为一阶线性常微分方程，p=-1,q=x ,通解为: y = e^(∫-pdx)*{∫qe^(∫pdx) dx + C } = e^(∫1dx)*{∫xe^(∫-1dx) dx + C } = e^x*{∫xe^(-x) dx + C } = e^x*{-∫xde^(-x) + C } = e^x*{ -xe^(-x)+∫e^(-x) dx + C } = e^x*{ -xe^(-x) -e^(-x) +C } = Ce^x -x-1
则特征根是r1=0,r2=1
∴齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^x (C1,C2是积分常数)
设原微分方程的一个特解是y=Ax2+Bx
代入原微分方程得2A-B-2Ax=x
比较两端x的同次幂系数,得2A-B=0.(1)
-2A=1.(2)
接方程组(1)(2),得A=-1/2,B=-1
则原微分方程的一个特解是y=-(x/2+1)x=-x(x+2)/2
故原微分方程的通解是y=(C1x+C2)e^x-(x+2)x/2 (C1,C2是积分常数)
再问： 小哥你看错题目了
再答： 不好意思，看错了 y'-y=x 为一阶线性常微分方程，p=-1,q=x ,通解为: y = e^(∫-pdx)*{∫qe^(∫pdx) dx + C } = e^(∫1dx)*{∫xe^(∫-1dx) dx + C } = e^x*{∫xe^(-x) dx + C } = e^x*{-∫xde^(-x) + C } = e^x*{ -xe^(-x)+∫e^(-x) dx + C } = e^x*{ -xe^(-x) -e^(-x) +C } = Ce^x -x-1