作业帮求助解答线性代数矩阵题目,希望线代达人帮忙解答!先谢谢了.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/13 18:08:42
求助解答线性代数矩阵题目,希望线代达人帮忙解答!先谢谢了.
设A为n阶方阵,且对某个正整数m,有A的m次方=0,证明E-A可逆,并求其逆.
题目应该不难吧,不过我一时木有想到怎么解,郁闷了.
设A为n阶方阵,且对某个正整数m,有A的m次方=0,证明E-A可逆,并求其逆.
题目应该不难吧,不过我一时木有想到怎么解,郁闷了.
A^m=0
A^m-E=-E
(A-E)[A^(m-1)+A^(m-2)+…+E]=-E
(E-A)[A^(m-1)+A^(m-2)+…+E]=E
所以E-A可逆,(E-A)^(-1)=A^(m-1)+A^(m-2)+…+E
再问： 不好意思哈 从A^m-E=-E到(A-E)[E+A^1+A^2……+A^(m-1)]=-E 这一步没有看懂 可以帮我解释下吗
再答： 哦，是这样的 A^m-E =A^m-E^m =(A-E)[A^(m-1)+A^(m-2)+…+E] 或者你将 (A-E)[A^(m-1)+A^(m-2)+…+E]这个乘开也可以发现是相等的 =[A^m+A^(m-1)+…+A] - [A^(m-1)+A^(m-2)+…+E] =A^m-E
再问： 哦 原来如此 谢谢啦 看来自己对这样的式子还是一直不敏感啊
再答： 呵呵
A^m-E=-E
(A-E)[A^(m-1)+A^(m-2)+…+E]=-E
(E-A)[A^(m-1)+A^(m-2)+…+E]=E
所以E-A可逆,(E-A)^(-1)=A^(m-1)+A^(m-2)+…+E
再问： 不好意思哈 从A^m-E=-E到(A-E)[E+A^1+A^2……+A^(m-1)]=-E 这一步没有看懂 可以帮我解释下吗
再答： 哦，是这样的 A^m-E =A^m-E^m =(A-E)[A^(m-1)+A^(m-2)+…+E] 或者你将 (A-E)[A^(m-1)+A^(m-2)+…+E]这个乘开也可以发现是相等的 =[A^m+A^(m-1)+…+A] - [A^(m-1)+A^(m-2)+…+E] =A^m-E
再问： 哦 原来如此 谢谢啦 看来自己对这样的式子还是一直不敏感啊
再答： 呵呵