作业帮求解一道平面解析的数学题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/04 15:17:51
求解一道平面解析的数学题
已知点F是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0)的左焦点,点E是右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则双曲线的离心率e的取值范围是什么?【答案是（1,2）】求具体的过程
已知点F是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0)的左焦点,点E是右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则双曲线的离心率e的取值范围是什么?【答案是（1,2）】求具体的过程
双曲线通径长AB=2b²/a (通径为过焦点垂直于轴或平行于准线的弦)
(将焦点横坐标x=c=√(a²+b²)代入x^2/a^2-y^2/b^2=1,可求得y=±b²/a)
AF=b²/a,FE=c+a
若△ABE是锐角三角形,则AF/FE＜tan45°=1
即b²/a＜c+a,将b²=c²-a²代入得c²-ac-2a²＜0
同除以a²,得e²-e-2＜0
解得-1＜e＜2,而e＞1,故e取值范围为：（1,2）
(将焦点横坐标x=c=√(a²+b²)代入x^2/a^2-y^2/b^2=1,可求得y=±b²/a)
AF=b²/a,FE=c+a
若△ABE是锐角三角形,则AF/FE＜tan45°=1
即b²/a＜c+a,将b²=c²-a²代入得c²-ac-2a²＜0
同除以a²,得e²-e-2＜0
解得-1＜e＜2,而e＞1,故e取值范围为：（1,2）