已知M.N是△ABC边AB.AC上的点,AM:BM=2:3,CN:BN=4:5

(Ⅰ)在三角形AGM中,由正弦定理：sin∠AMG/AG=sin∠MAG/GM其中∠MAG=30°,∠AMG=180°-(30°+α),AG=2/3*AD=2/3*sin60°*AB=根号3/3,GM

过程省略向量2字：AB=OB-OA=(3,5)-(7,8)=(-4,-3),AC=OC-OA=(4,3)-(7,8)=(-3,-5)AD=(AB+AC)/2=((-4,-3)+(-3,-5))/2=(

∵MN垂直平分AB,∴BM=MA∵∠A=120°,AB=AC∴∠B=30°=∠C=∠MAN∴∠MAC=90°∴2MA=CM∴CM=2BM

过B作BD‖PQ,过C作CE‖PQ,分别交直线AM于D、E则由∠BDM＝∠CEM,∠BMD＝∠CME,BM＝CM得△BDM≌△CEM（AAS）所以MD＝ME因为PQ‖BD,PQ‖CE所以AB/AP＝A

设AD=x,DB=y则：x+y=AB=m,xy=CD^2=n^2ED=x-(m/3),FD=y-(m/3)tan角ECD=ED/CD=(x-(m/3))/ntan角FCD=FD/CD=(y-(m/3)

1、过G作GD垂直ABGE垂直AC,作AF垂直MN,连接AG,BG由于G是中心,则AG=BG=根号3/3GD=GE=根号3/6因此AF=AG*sin(π-a)=AG*sina=根号3*sina/3MG

（1）过点M作MF∥BC交AC于F，∴∠FMD=∠CND，∠MFD=∠NCD，∠AMF=∠B．∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠B=60°，AB=AC=4．∴∠AMF=∠B=60．∴△AMF是等边三角形

m*n=1*1*cos60=1/2=sinA*sinB-cosA*cosB=-cos(A+B)=cosCC=π/31/2absinc=S=2根号3ab=8c平方=a平方+b平方-2abcosC=a平方

是的是直角三角形.a^2+b^2=m^2-2mn+n^2+4mn=m^2+n^2+2mnc^2=m^2+n^2+2mn所以a^2+b^2=c^2所以三角形是直角三角形

(1)设C（x,y）,则M为（x/3,y/3）由向量AB=(0,-2),且向量MN=λAB,推出M为（x/3,y/3-2λ）M是外心,则M到三角形三顶点距离相等（x/3-0)^2+(y/3-2λ+1)

是的,因为AB、AC为弦,OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,所以M、N分别为AB、AC的中点,所以MN是△ABC的中位线

无图,不解

原式等于ab-a-b+1乘以c-1等于abc-ab-ac+a-bc+b+c-1等于s-n+m-1

证明：∵M是AB的中点,N是AC的中点∴AM=MBMN∥BC又DC∥AB∴MBCD是平行四边形∴DC=MB又AM=MB∴DC=AM又DC∥AB∴AMCD是平行四边形∵AC=BCM是AB的中点∴CM⊥A

（1）∵m=（cosB，cosC），n=（2a+c，b），且m⊥n，∴cosB（2a+c）+bcosC=0，利用正弦定理化简得：cosB（2sinA+sinC）+sinBcosC=0，整理得：2cos

（1）Aˊ（3,-3）（2）B(-6,-6),C(6,-2)

因为：b²+a²=4mn+（m-n）²=4mn+m²-2mn+n²=m²+2mn+n²c²=（m+n）²=m&

(1)m‖n,（a+c）（sinA-sinC）=(a-b)sinB（a+c）（a/2R-c/2R）=(a-b)b/2R(a+c)(a-c)=(a-b)b(a²+b²-c²

如图：连接BM，由圆内接四边形的性质可知，∠CNM=∠CAB，∠CMN=∠CBA，∴△CNM∽△CAB，又△ABC的面积是△CMN面积的4倍，可知相似比CMCB=12，AB为直径，∠BMC=90°，则

Am^2=AB^2+2AB*CF+CF^2n^2=AC^2+2AC*BE+BE^2又AB*CF=AC*BE所以m^2-n^2=AB^2+CF^2-AC^2-BE^2=(AB^2-BE^2)-(AC^2