作业帮已知n阶矩阵q可逆则r(a)=
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 01:28:33
1(A+E)(A^4-A^3+A^2-A+E)=A^5-A^4+A^3-A^2+A+A^4-A^3+A^2-A+E=A^%+E=E所以A+E可逆逆矩阵为A^4-A^3+A^2-A+E(A-E)(A^4
教科书中应该有这样的两个结论:1.初等变换不改变矩阵的秩2.可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积由P,Q可逆,所以它们可以表示成初等矩阵的乘积所以PA相当于对A做若干初等行变换,它的秩不变,即仍是A的秩同
提示：可逆矩阵可以看成若干初等矩阵的乘积.用等价矩阵秩相等去证.
由A平方=A得A(A–E)=0所以A–E的列向量都是AX=0的解,所以r(A–E)
任何一个可逆阵,可以写成若干个初等阵的积左(右)乘一个初等阵,相当于做一次初等行(列)变换所以一个可逆阵乘一个阵,相当于对矩阵做初等变换而初等变换不改变矩阵的秩所以命题成立
∵C是n阶可逆矩阵∴C可以表示成若干个初等矩阵之积，即C=P1P2…Ps，其中Pi（i=1，2，…，s）均为初等矩阵．而：B=AC，∴B=AP1P2…Ps，即B是A经过s次初等列变换后得到的，又初等变
由于C可逆,所以r(AC)=r(A)即有r=r1故(C)正确.
知识点:n阶可逆矩阵等价于n阶单位矩阵E.因为A,B可逆,所以存在可逆矩阵P1,P2,Q1Q2满足P1AQ1=EP2BQ2=E所以P1AQ1=P2BQ2所以P2^-1P1AQ1Q2^-1=B令P=P2
P,Q是可逆矩阵,则可表示为初等矩阵的乘积PA,AQ相当于对A实施一系列的初等变换,故秩不变
A^2=2A说明A的特征值只可能是0或者2,所以A-I的特征值就是1或-1再利用实对称阵正交相似于对角阵得到A-I是正交阵另一种做法是直接算出(A-I)(A-I)^T=I,但上面的方法也应该掌握
对的对的定理：两个矩阵乘积的不大于每一因子的秩,特别当有一个因子是可逆矩阵时,乘积的秩=另一个因子的秩.
AB*B^(-1)*A^(-1)=AEA^(-1)=AA^(-1)=E(E为单位矩阵)从而AB为可逆矩阵,逆矩阵为B^(-1)*A^(-1)
可逆等价于满秩从Gauss消元法也可得r(A)=n
选C证明：用秩的不等式：如果A是m*n矩阵,B是n*s矩阵.则有：r(A)+r(B)-n
由于P与Q可以写成有限个初等矩阵的乘积,例如设P=P1P2...Ps,Q=Q1Q2...Qt,所以B=PAQ=P1P2...PsAQ1Q2...Qt,而矩阵A左乘或者右乘初等矩阵相当于对矩阵A做了初等
注意到AC的行列数与A相同,故A右乘C实际上就是对A进行初等列变换,故r=r1
线性方程组A1=b--这是什么线性方程组再问：少写了个x应该是A1X=b再答：这是什么题呀,A1x是r行,b是n行,不能相等呀再问：是呀，太坑人了。不过要谢谢老师再答：你只要记住:行满秩时一定有解,若
只要找出一个非零解满足（E-AB）Y=0,就可以说明与题设矛盾,假设E-BA不可逆,则（E-BA）X=0有非零解,则可得X=BAX.又（E-AB）AX=AX-ABAX=AX-AX=0,即AX为（E-A