A是实数矩阵,若A^2=0,则A-搜答案-智慧作业帮

(1)设λ是A在复数域内的一个特征值,X是属于λ的特征向量(未必是实向量),即有AX=λX.用B*表示B的复共轭的转置,由A是实对称矩阵,有A*=A.考虑1×1矩阵X*AX,可知(X*AX)*=X*A

因为A^2=A=AI,所以A（A-I）=0所以A或A-I的行列式等于0A的行列式等于0说明特征值是0A-I的行列式等于0说明特征值是1

对A做行分块,设A=(a1,a2,……,an)^T则A^TA=a1^2+a2^2+……+an^2=0从而a1=a2=……=an=0进而A=0.或者这样看A'A为一半正定矩阵,若其等于0,必有A=0

AB=BA=E是A^(-1)=B,B^(-1)=A的充分必要条件.AB=BA只能说AB满足乘法的交换律.再问：逆阵的意思不是说AB=BA，而A就是可逆这意思吗？为什么它要等于E？再答：定义中要求的，没

将A的每一列分为一块A=(a1,...,an)则A^TA=a1^Ta1a1^Ta2...a1^Tana2^Ta1a2^Ta2...a2^Tan...an^Ta1an^Ta2...an^Tan=0所以a

不对.反例：A:ab00cd00B:00001234A:2×4矩阵,a,b,c,d任取.B:4×2矩阵,R(B)=2AB=0

由等式可知：x1=log(2a+1);x2=log(1-2a);因a>0;所以可知（2a+1)>0;(1-2a)>0;解得：a的取值范围是：0

Ax＝ax,A^2x=a^2x＝Ax＝ax,故a^2=a,a＝0或a＝1

考虑两个线性空间：(1)B的列空间,即B的各列向量张成的线性空间.它的维数即是B的列秩,等于B的秩,即r(B).(2)Ax=0的解空间,即Ax=0的所有解组成的线性空间.由基本定理,它的维数=n-r(

3的n次方乘以2的n-1次方.

因为A+A^T是对称矩阵且X^T(A+A^T)X=X^TAX+X^TA^TX=X^TAX+(X^TAX)^T=0所以A+A^T=0所以A^T=-A故A是反对称矩阵.

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I=I-B*B*B=(I-B)(I+B+B^2)故I-B可逆,-->B-I可逆,满秩矩阵R(AB-A)=R[A(B-I)]=RA=2

(A+kE)(A+(2-k)E)=A^2+2A+k(2-k)E=(3+2k-k^2)E,因此要求3+2k-k^2不为0,即k不等于3,不等于-1.此时A+kE的逆为(A+(2-k)E)/(3+2k-k

设a是A的特征值则a^2-a是A^2-A的特征值由于A^2-A=0,而零矩阵的特征值只能是0所以a^2-a=0所以a只能是1,0

设A为n阶方阵,令A*A=B,由于对称阵,因此有对任意m属于[1,n]Bmm=Am1^2+Am2^2+...+Amn^2=0因此Am1=Am2=...Amn=0由m的任意性可以知道A的每个元素为0,即

由A^2+2a=0知道,A的特征值都是方程x^2+2x=0的根,所以A的特征值是0与-2,那么kA+E的特征值是k*0+1与k*(-2)+1,即1与1-2k,要想kA+E正定,则1-2k＞0,所以k＜

|}A*|A|=|A*|^3|A|=(|A|^2)^3|A|=|A|^7=2^7=128

|2A*|=2^3|A*|=8|A|^(3-1)=8*2^2=32用到2个性质1.|kA|=k^n|A|2.|A*|=|A|^(n-1)

因为A+E不可逆所以|A+E|=0所以-1是A的一个特征值所以|A|/(-1)=-2是A*的一个特征值