证明:若limf(x)存在,若存在X>0,当x>x时,f(x)有界

limf(x)/x存在,分母-->0,故limf(x)=0,f(x)在x=0连续,limf(x)=f(0)=0f'(0)=lim[f(x)-f(0)]/[x-0]存在,所以f(x)在x=0连续且可导

反证法：设f（x）在（－∞,＋∞）内无界因为f(x)在（－∞,＋∞）内连续,且f（x）在（－∞,＋∞）内无界,则当x趋于∞时f（x）也趋于∞则limf(x)不存在与已知矛盾所以若函数f(x)在（－∞,

假设limf'(x)=A≠0,不妨设A>0由保号性得,对于存在x0>0使得x>x0时f'(x)>A/2f(x)>f(x0)+(A/2)(x-x0)>M则x>|M-f(x0)|/(A/2)所以x>max

因为limf（x）存在,则limf(x)是数值,没有未知数x则limx->πf(x)=limx->π[sinx/x-π+2limx->πf(x)]=limx->π[sinx/(x-π)]+2limx-

且limfx=A与limfx=B这句话有点问题,是不是题错了,题上有没有说a不等于b的?再问：左边是X趋向a,右边是趋向正无穷

参见高等数学上册,极限存在,而且是0/0型,所以必有x趋向于0时limf(x)=0

存在,因为x趋向于0时limf(x)/x存在且x=o处连续所以f(0)=0f'(0)=lim(x->0)f(0+x)-f(0)/x=lim(x->0)f(x)/x所以存在

设lim（x→∞）f(x)=a,对ε=1,存在X>0,当|x|>X时,a-1

其实很简单的根据其定义极限存在时左右极限都存在且等于函数值极限才存在然后利用反证法证明

由于f(x)在x=0处连续,即lim{x->0}f(x)=f(0)所以f(0)=lim{x->0}f(x)=lim{x->0}[f(x)/x]*x=lim{x->0}[f(x)/x]*lim{x->0

设limf(x)=b,对ε=1,存在X>0,当x>X时,有|f(x)-b|

lim(f(2x)-f(x))/x=0所以对于任意ε,存在δ,-δ

若函数f(x)在x=0处连续,则(x趋向于零时),limf(x)=f(0).此时,若:limf(x)/x(x趋向于零时)存在,必有:f(0)=0.故:(x趋向于零时)lim{[f(x)-f(0)]/(

由于x趋于a+时,分母x-a是趋于0的,所以如果极限limf(2x-a)/(x-a)存在,分子f(2x-a)也必须趋于0,这样的0/0型未定式极限才可能存在.故x趋于a+时有limf(2x-a)=0,

无穷/无穷型的洛必达法则limf(x)=lime^xf(x)/e^x洛必达法则得=lime^x(f(x)+f'(x)/e^x=limf(x)+f'(x)=0,于是limf'(x)=limf(x)+f'

从定义出发来证明：对任意ε>0,由　　　　lim(x→+∞)f(x)=A,lim(x→-∞)f(x)=A可知,存在X1>0,X2>0,使得　　对任意x>X1,有|f(x)-A|　　对任意xX,有　　　

若f(x)在[a,b]上无界取x(1)=(a+b)/2则[a,x1],[x1,b]至少存在一个f(x)在其上无界.设其为[a(2),b(2)](若两个都无界,则取右边的)取x(2)=(a(2)+b(2

设极限为a,则存在再答：设极限为a,任取ε＞0，存在δ＞0，使得x-x0＜δ有f（x）＞a-ε,取ε＝（a-l）再答：设极限为a,任取ε＞0，存在δ＞0，使得x-x0＜δ有f（x）＞a-ε,取ε＝（a

在[x,x+1]上,用拉格朗日中值定理f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*1x=lim(x->+∞)f'(ξ)=lim(ξ->+∞)f'(ξ)lim(x->+∞)f'(x)=0再问：lim【f(x+1