作业帮一道数学题（关于相似三角形的）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/05 08:07:40
一道数学题（关于相似三角形的）
如图,已知等腰直角三角形Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC边上一动点,BC=nDC,CE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F.
①若n=3,则CE/DC=?,AE/DE=?
②若n=2,求证：AF=2FC
③当n为多少时,F为AC的中点.
如图,已知等腰直角三角形Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC边上一动点,BC=nDC,CE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F.
①若n=3,则CE/DC=?,AE/DE=?
②若n=2,求证：AF=2FC
③当n为多少时,F为AC的中点.
①∵△DCE∽△ADC,∴CE/DC=AC/AD,∵AC=BC=nDC,∴AD=√(AC²+DC²)=√(n²+1)DC,∴CE/DC=nDC/[√(n²+1)DC]=n/√(n²+1),CE=nDC/√(n²+1),AE=√[n²-n²/(n²+1)]DC=n²DC/√(n²+1),DE=√[1-n²/(n²+1)]DC=DC/√(n²+1),∴AE/DE=n²；当n=3,则CE/DC=3√10/10,AE/DE=9；
②过E作BC垂线交于G点,当n=2,AE/DE=4,AE/DE+1=5,AD/DE=5,∵△EDG∽△ADC,∴AD/DE=AC/EG=DC/DG=5,AC=2DC=2BD,BG=BD+DG=DC+DC/5=6AC/10,∵△BGE∽△BCF,∴FC/EG=BC/BG,FC=(AC²/5)/(6AC/10)=AC/3,AF=AC-AC/3=2AC/3,则AF=2FC；
③AE/DE=n²,AD/DE=n²+1,AD/DE=AC/EG=DC/DG=n²+1,AC=nDC,BG=BD+DG=[1-1/n+1/n(n²+1)]AC=(n²-n+1)AC/(n²+1),∵△BGE∽△BCF,∴FC/EG=BC/BG,FC=AC/(n²-n+1),F为AC的中点时,FC=AC/(n²-n+1)=AC/2,n²-n+1=2,n=(1+√5)/2,或n=(1-√5)/2(舍去).
②过E作BC垂线交于G点,当n=2,AE/DE=4,AE/DE+1=5,AD/DE=5,∵△EDG∽△ADC,∴AD/DE=AC/EG=DC/DG=5,AC=2DC=2BD,BG=BD+DG=DC+DC/5=6AC/10,∵△BGE∽△BCF,∴FC/EG=BC/BG,FC=(AC²/5)/(6AC/10)=AC/3,AF=AC-AC/3=2AC/3,则AF=2FC；
③AE/DE=n²,AD/DE=n²+1,AD/DE=AC/EG=DC/DG=n²+1,AC=nDC,BG=BD+DG=[1-1/n+1/n(n²+1)]AC=(n²-n+1)AC/(n²+1),∵△BGE∽△BCF,∴FC/EG=BC/BG,FC=AC/(n²-n+1),F为AC的中点时,FC=AC/(n²-n+1)=AC/2,n²-n+1=2,n=(1+√5)/2,或n=(1-√5)/2(舍去).