已知函数f(x)＝ex+aex(a∈R)（其中e是自然对数的底数）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/10/01 19:07:17

已知函数f(x)＝e

（1）∵函数f（x）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x-e^-x，经验证函数f（x）是R上的奇函数．
故a=-1适合题意．
（2）a=0时，y=e^x在区间[0，1]上单调递增，适合题意；
当a≠0时，令t=e^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，e]．且t=e^x单调递增，故y＝|t+
a
t|在t∈[1，e]时递增．
当a＞0时，函数y=t+
a
t在t∈[1，e]时单调递增，得
a≤1，∴0＜a≤1．
当a＜0时，y＝t+
a
t在t∈[1，e]时单调递增恒成立，故∀t∈[1，e]，t+
a
t≥0．
∴-1≤a＜0．
综上可知：-1≤a≤1．
（3）∵f（x）+f′（x）=ex+
a
ex+ex−
a
ex=2e^x，∴φ（x）=（x²-3x+3）e^x，∴
φ ′(x)
φ(x)=x²-x．
要证明：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足
ϕ′(x0)
ex0＝
2
3(t−1)2．
等价于证明：对任意的t＞-2，方程x2−x＝
2
3(t−1)2在区间（-2，t）内有实数解．
令g（x）=x2−x−
2
3(t−1)2，
则g（-2）=6-
2
3(t−1)2=-
2
3(t+2)(t−4)，g（t）=
1
3(t−1)(t+2)．
所以①当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）g（t）＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）内有解，且只有一解．
②当1＜t＜4时，g（-2）＞0，且g（t）＞0，但g（0）=−
2
3(t−1)2＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）内有解，且由两解．
③当t=1时，有且只有一个解x=0；
当t=4时，有且只有一个解x=3．
综上所述：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足
ϕ′(x0)
ex0＝
2
3(t−1)2．
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意；
当1＜t＜4时，有两个不同的x₀适合题意．

已知函数f(x)＝ex+aex(a∈R)（其中e是自然对数的底数）已知函数f（x）=x-1+aex（a∈R，e为自然对数的底数）．（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（2014•石家庄二模）已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R），其中e为自然对数的底数．已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex,其中e是自然对数的底数,a∈R．若a=-1存在k∈R使得方程f（x）=k有3 已知函数g（x）=ex-1-ax，a∈R，e是自然对数的底数．已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex,其中e是自然对数的底数,a∈R．（1）若a=1,求曲线f（x）在点（1,f（已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．已知函数f(x)=(ax^2+x)e^x,其中e是自然对数的底数,a∈R 已知函数f(x)=(ax2+x)e^x,其中e是自然对数的底数,a∈R 已知函数f(x)=ex-kx,x属于R（e是自然对数的底数）已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．