作业帮证明等差数列,等比数列前n项和的公式
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 06:38:15
证明等差数列,等比数列前n项和的公式
下面用数学归纳法证明Sn=na1+n(n-1)d/2和Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)
（一）等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2证明：
(1)n=1,S1=a1,成立
(2)设Sk=ka1+k(k-1)d/2,则
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=ka1+k(k-1)d/2+a1+kd
=(k+1)a1+(k+1)kd/2
所以n=k+1也成立.
所以等差数列前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)d/2.
（二）等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)证明：
(1)n=1,S1=a1成立
(2)设Sk=[a1(1-q^k)]/(1-q).
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=a1(1-q^k)/(1-q)+a1q^k
=[a1/(1-q)][1-q^k+q^k-q^(k+1)]
=a1[1-q^(k+1)]/(1-q)
所以n=k+1时公式仍成立.
所以等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q).
（一）等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2证明：
(1)n=1,S1=a1,成立
(2)设Sk=ka1+k(k-1)d/2,则
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=ka1+k(k-1)d/2+a1+kd
=(k+1)a1+(k+1)kd/2
所以n=k+1也成立.
所以等差数列前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)d/2.
（二）等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)证明：
(1)n=1,S1=a1成立
(2)设Sk=[a1(1-q^k)]/(1-q).
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=a1(1-q^k)/(1-q)+a1q^k
=[a1/(1-q)][1-q^k+q^k-q^(k+1)]
=a1[1-q^(k+1)]/(1-q)
所以n=k+1时公式仍成立.
所以等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q).