求解一道高中数学竞赛题(斯特瓦尔特定理)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/25 15:08:13
求解一道高中数学竞赛题(斯特瓦尔特定理)
已知AE为三角形角平分线,BS=EC,求证AS²-AE²=(AB-AC)²
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/dc/ddc022d74c68ee971c071a4d13754344.jpg)
已知AE为三角形角平分线,BS=EC,求证AS²-AE²=(AB-AC)²
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由斯特瓦尔特定理:
AB^2*EC+AC^2*BE-AE^2*BC=BE*EC*BC-----------1
AB^2*SC+AC^2*BS-AS^2*BC=BS*SC*BC------------2
因为BS=EC,
所以BE=SC
则1-2式得
AB^2(EC-SC)+AC^2(BE-BS)-(AE^2-AS^2)*BC=BE*EC*BC-BS*SC*BC=0
即-AB^2*SE+AC^2*SE=(AE^2-AS^2)*BC---------------(*)
而AE是角平分线
所以SC=BE=BC*AB/(AB+AC)
CE=BC*AC/(AB+AC)
则SE=SC-CE=BC*(AB-AC)/(AB+AC)
于是(*)式化为
(AC^2-AB^2)*BC*(AB-AC)/(AB+AC)=(AE^2-AS^2)*BC
(AB-AC)^2=AS^2-AE^2
AB^2*EC+AC^2*BE-AE^2*BC=BE*EC*BC-----------1
AB^2*SC+AC^2*BS-AS^2*BC=BS*SC*BC------------2
因为BS=EC,
所以BE=SC
则1-2式得
AB^2(EC-SC)+AC^2(BE-BS)-(AE^2-AS^2)*BC=BE*EC*BC-BS*SC*BC=0
即-AB^2*SE+AC^2*SE=(AE^2-AS^2)*BC---------------(*)
而AE是角平分线
所以SC=BE=BC*AB/(AB+AC)
CE=BC*AC/(AB+AC)
则SE=SC-CE=BC*(AB-AC)/(AB+AC)
于是(*)式化为
(AC^2-AB^2)*BC*(AB-AC)/(AB+AC)=(AE^2-AS^2)*BC
(AB-AC)^2=AS^2-AE^2