如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=-2x+5与y轴交于点A,交双曲线于点D(2,1),将直线AD绕点A顺时针旋转90

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/28 21:45:17

如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=-2x+5与y轴交于点A,交双曲线于点D(2,1),将直线AD绕点A顺时针旋转90°交x轴于点B
(1)求反比例函数和直线AB的解析式
(2)已知点E,C分别是x轴y轴上一动点,是否存在C,E两点,使△CED~△AOB?若有,求点E坐标
(3)y轴上的动点C从A点开始以每秒1个单位的速度沿着AO方向运动,x轴上的动点E从B点开始以每秒3歌、个单位沿着BO方向移动,在双曲线上是否存在点F,使得以C,E,F为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t的值,不存在说明理由

(1)设反比例函数为y=k/x,图象过点(2,1).
∴1=k/2,k=2.故反比例函数解析式为y=2/x;
直线y=-2x+5与Y轴交于A(0,5),即OA=5;作DM垂直Y轴于M,因点M为(2,1).
则MA=5-1=4,MD=2.
易证得⊿AOB∽⊿DMA,则OA/MD=OB/MA,5/2=OB/4,OB=10.即点B为(-10,0).
由A(0,5)和B(-10,0)可求得直线AB的解析式为:y=0.5x+5.
(2)①当点E在X轴正半轴上时,点C在Y轴正半轴上,作DN垂直X轴于N,则ON=2,ND=1.
若△CED~△AOB,则CE/DE=AO/BO=1/2;且∠CED=∠AOB=90°
易知⊿COE∽⊿END,OE/ND=CE/DE=1/2,则OE=ND/2=0.5,即点E为(0.5 ,0);
②当点E在X轴负半轴上时,点C在Y轴负半轴上,同理可求得点E为(-0.5,0).
(3)【本题中并未指明点C,E,F哪个为直角的顶点,因此要分情况讨论.】
①当∠CFE=90°时:
作FP垂直X轴于P,FQ垂直Y轴于Q,易证⊿EPF≌⊿CQF,则EP=CQ;PF=QF.
可设点P的坐标为(a,a),点P在y=2/x图象上,则a=2/a,a=±√2,故点F为(√2,√2)或(-√2,-√2);
设运动时间为t,EP=CQ,即10-3t-√2=5-t+√2或√2-(5-t)=3t-10-√2,得t=(5-2√2)/2或(5+2√2)/2;
②当∠ECF=90°时:同理相似可求得:t=3或9/2;
③当∠CEF=90°时:同理相似可求得:t=(35+√73)/12或(35-√73)/12.