在△ABC中,已知a、b、c三边成等比数列,求证:
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/18 20:17:40
在△ABC中,已知a、b、c三边成等比数列,求证:
看了半天,应该是:acos²(C/2)+ccos²(A/2) ≥ 3b/2
证明:
∵△ABC中,a,b,c成等比数列,
令b/a=c/b=q (q≠0),则:
b=aq
c=bq=aq²
acos²(C/2)+ccos²(A/2)
=a(cosC+1)/2+c(cosA+1)/2] (倍角公式:cos^2(α/2)=(1+cosα)/2)
=(1/2)[(acosC+ccosA+a+c)] (余弦定理)
=(1/2)[a(a²+b²-c²)/(2ab)+c(b²+c²-a²)/(2bc)+(a+c)]
=(1/2)[(a²+b²-c²+b²+c²-a²)/(2b)+(a+c)]
=(1/2)[2b²/(2b)+(a+c)]
=(1/2)(a+b+c)
=(1/2)[(a+aq²)+b]
=(1/2)[a(1+q²)+b]
≥(1/2)[a*2q+b] (根据a²+b²≥2ab)
=(1/2)(2aq+b)
=(1/2)(2b+b)
=3b/2
当且仅当q=1时取等号,此时△ABC中:
b=aq=a
c=bq=b=a
因此:a=b=c是全等三角形
证毕
证明:
∵△ABC中,a,b,c成等比数列,
令b/a=c/b=q (q≠0),则:
b=aq
c=bq=aq²
acos²(C/2)+ccos²(A/2)
=a(cosC+1)/2+c(cosA+1)/2] (倍角公式:cos^2(α/2)=(1+cosα)/2)
=(1/2)[(acosC+ccosA+a+c)] (余弦定理)
=(1/2)[a(a²+b²-c²)/(2ab)+c(b²+c²-a²)/(2bc)+(a+c)]
=(1/2)[(a²+b²-c²+b²+c²-a²)/(2b)+(a+c)]
=(1/2)[2b²/(2b)+(a+c)]
=(1/2)(a+b+c)
=(1/2)[(a+aq²)+b]
=(1/2)[a(1+q²)+b]
≥(1/2)[a*2q+b] (根据a²+b²≥2ab)
=(1/2)(2aq+b)
=(1/2)(2b+b)
=3b/2
当且仅当q=1时取等号,此时△ABC中:
b=aq=a
c=bq=b=a
因此:a=b=c是全等三角形
证毕
在△ABC中,已知a、b、c三边成等比数列,求证:
△ABC的三边a,b,c的倒数成等比数列 ,求证B
在△ABC中,已知角A、B、C所对的三边a、b、c成等比数列则角B的取值范围是?
在三角形ABC中,已知三边a,b,c 成等比数列,且a=2bcosc,判断三角形的形状
在ΔABC中,三边a,b,c依次成等比数列,求证:acos²(C/2)+ccos²(A/2)≥3b/
在三角形ABC中,已知角A,B,C成等差数列,边a,b,c成等比数列,求证:三角形AB
已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,又三边a,b,c依次成等比数列,求证该△为等边△.
在△BC中,已知其度数成等差数列三个角A,B,C的对边长a,b,c成等比数列,求证△ABC为正三角形
△ABC中三边a,b,c成等比数列,求∠B的范围
在△ABC中,若三边a、b、c成等比数列,求公比的取值范围?
在三角形ABC中,已知其度数成等差数列的三个角A,B,C的对边长a,b,c成等比数列,求证三角形ABC是正三角形
在三角形ABC中已知三边a,b,c成等比数列 1若角B=45°,求角(2A-45°)的正弦值