(1)数刑{an}满足Sn=2n-an,n属於N*,先计算前4项后,猜想an的运算式,并用数归纳法证明.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 01:25:16
(1)数刑{an}满足Sn=2n-an,n属於N*,先计算前4项后,猜想an的运算式,并用数归纳法证明.
(2)正数数列{an}中,Sn=0.5(an+1/an),(A)求a1,a2 a3 (B)猜想an的运算式并证明
(3)设n属於N,(n≥2) (A)试求(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)=( )
(B)并用数学归纳法证明之
(2)正数数列{an}中,Sn=0.5(an+1/an),(A)求a1,a2 a3 (B)猜想an的运算式并证明
(3)设n属於N,(n≥2) (A)试求(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)=( )
(B)并用数学归纳法证明之
1.当n=1时,S1=a1
所以a1=2-a1
a1=1
当n=2时,S2=a1+a2==1+a2=4-a2,
a2=3/2,
S2=1+3/2=5/2
当n=3时,S3=S2+a3=5/2+a3=6-a3
a3=7/4
S3=5/2+7/4=17/4
当n=4时,S4=S3+a4=17/4=8-a4
a4=15/8
猜想an=(2^n-1)/2^(n-1)
证明,当n=1时,a1=(2-1)/1=1,成立
假设当n=k时,等式成立
即ak=(2^k-1)/2^(k-1)
Sk=2k-(2^k-1)/2^(k-1)
则当n=k+1时
有左边=S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k-(2^k-1)/2^(k-1)+[2^(k+1)-1]/2^[(k+1)-1]
=2k-(2^k-1)/2^(k-1)+[2^(k+1)-1]/2^k
=2k-(2^k-1)/2^(k-1)+2-1/2^k
=2(k+1)-(2^k-1)/2^(k-1)-(1/2)/2^(k-1)
=2(k+1)-(2^k-1+1/2)/2^(k-1)
=2(k+1)-(2^k-1/2)/2^(k-1)
=2(k+1)-[2^(k+1)-1]/2^k
右边=2(k+1)-a(k+1)=2(k+1)-[2^(k+1)-1]/2^k
左边=右边
当n=k+1时等式成立
2.当n=1时,S1=a1
有a1=0.5(a1+1/a1)
a1²=0.5a1²+0.5
0.5a1²=0.5
a1²=1
a1=1或a1=-1(舍去)
S1=a1=1
当n=2时,S2=S1+a2=1+a2=0.5(a2+1/a2)
a2+a2²=0.5a2+0.5
0.5a2²+a2-0.5=0
a2²+2a2-1=0
a2=-2+根号(4+4)/2=-1+根号2
S2=根号2
当n=3时,S3=S2+a3=根号2+a3=0.5(a3+1/a3)
根号2a3+a3²=0.5a3²+0.5
根号2a3+0.5a3²-0.5=0
2根号2a3+a3²-1=0
a3=-2根号2+根号(8+4)/2=-根号2+根号3
猜想an=-根号(n-1)+根号n
证明:当n=1时,a1=1,成立
假设当n=k时,等式成立
有ak=-根号(k-1)+根号k
Sk=0.5[-根号(k-1)+根号k+1/(=-根号(k-1)+根号k)]
则当n=k+1时
左边=S(k+1)=Sk+a(k+1)
=0.5{-根号(k-1)+根号k+1/[(-根号(k-1)+根号k)]}+[-根号k+根号(k+1)]
=0.5{-根号(k-1)+根号k+[根号(k-1)+根号k]}+[-根号k+根号(k+1)]
=0.5(2根号k)-根号k+根号(k+1)
=根号k-根号k+根号(k+1)
=根号(k+1)
右边=0.5(an+1/an),
=0.5{[-根号k+根号(k+1)]+1/[-根号k+根号(k+1)]}
==0.5{-根号k+根号(k+1)+[根号k+根号(k+1)]}
=0.5[2根号(k+1)]
=根号(k+1)
左边=右边
等式成立
3.=(n+1)/2n
证明:当n=2时,有左边=(1-1/4)=3/4
右边=(2+1)/2*2=3/4
成立
假设当n=k时,等式成立,
有(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)=(k+1)/2k
则当n=k+1时,
左边=(k+1)/2k*[1-1/(k+1)²]
=(k+1)/2k*[(k+1)²-1]/(k+1)²
=(k+1)/2k*(k+1-1)(k+1+1)/(k+1)²
=(k+1)/2k*k(k+2)/(k+1)²
=(k+2)/2(k+1)
右边=(k+1+1)/2(k+1)
=(k+2)/2(k+1)
左边=右边
所以等式成立
所以a1=2-a1
a1=1
当n=2时,S2=a1+a2==1+a2=4-a2,
a2=3/2,
S2=1+3/2=5/2
当n=3时,S3=S2+a3=5/2+a3=6-a3
a3=7/4
S3=5/2+7/4=17/4
当n=4时,S4=S3+a4=17/4=8-a4
a4=15/8
猜想an=(2^n-1)/2^(n-1)
证明,当n=1时,a1=(2-1)/1=1,成立
假设当n=k时,等式成立
即ak=(2^k-1)/2^(k-1)
Sk=2k-(2^k-1)/2^(k-1)
则当n=k+1时
有左边=S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k-(2^k-1)/2^(k-1)+[2^(k+1)-1]/2^[(k+1)-1]
=2k-(2^k-1)/2^(k-1)+[2^(k+1)-1]/2^k
=2k-(2^k-1)/2^(k-1)+2-1/2^k
=2(k+1)-(2^k-1)/2^(k-1)-(1/2)/2^(k-1)
=2(k+1)-(2^k-1+1/2)/2^(k-1)
=2(k+1)-(2^k-1/2)/2^(k-1)
=2(k+1)-[2^(k+1)-1]/2^k
右边=2(k+1)-a(k+1)=2(k+1)-[2^(k+1)-1]/2^k
左边=右边
当n=k+1时等式成立
2.当n=1时,S1=a1
有a1=0.5(a1+1/a1)
a1²=0.5a1²+0.5
0.5a1²=0.5
a1²=1
a1=1或a1=-1(舍去)
S1=a1=1
当n=2时,S2=S1+a2=1+a2=0.5(a2+1/a2)
a2+a2²=0.5a2+0.5
0.5a2²+a2-0.5=0
a2²+2a2-1=0
a2=-2+根号(4+4)/2=-1+根号2
S2=根号2
当n=3时,S3=S2+a3=根号2+a3=0.5(a3+1/a3)
根号2a3+a3²=0.5a3²+0.5
根号2a3+0.5a3²-0.5=0
2根号2a3+a3²-1=0
a3=-2根号2+根号(8+4)/2=-根号2+根号3
猜想an=-根号(n-1)+根号n
证明:当n=1时,a1=1,成立
假设当n=k时,等式成立
有ak=-根号(k-1)+根号k
Sk=0.5[-根号(k-1)+根号k+1/(=-根号(k-1)+根号k)]
则当n=k+1时
左边=S(k+1)=Sk+a(k+1)
=0.5{-根号(k-1)+根号k+1/[(-根号(k-1)+根号k)]}+[-根号k+根号(k+1)]
=0.5{-根号(k-1)+根号k+[根号(k-1)+根号k]}+[-根号k+根号(k+1)]
=0.5(2根号k)-根号k+根号(k+1)
=根号k-根号k+根号(k+1)
=根号(k+1)
右边=0.5(an+1/an),
=0.5{[-根号k+根号(k+1)]+1/[-根号k+根号(k+1)]}
==0.5{-根号k+根号(k+1)+[根号k+根号(k+1)]}
=0.5[2根号(k+1)]
=根号(k+1)
左边=右边
等式成立
3.=(n+1)/2n
证明:当n=2时,有左边=(1-1/4)=3/4
右边=(2+1)/2*2=3/4
成立
假设当n=k时,等式成立,
有(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)=(k+1)/2k
则当n=k+1时,
左边=(k+1)/2k*[1-1/(k+1)²]
=(k+1)/2k*[(k+1)²-1]/(k+1)²
=(k+1)/2k*(k+1-1)(k+1+1)/(k+1)²
=(k+1)/2k*k(k+2)/(k+1)²
=(k+2)/2(k+1)
右边=(k+1+1)/2(k+1)
=(k+2)/2(k+1)
左边=右边
所以等式成立
(1)数刑{an}满足Sn=2n-an,n属於N*,先计算前4项后,猜想an的运算式,并用数归纳法证明.
a1=1/6,前n项和sn=n(n+1)/2*an,猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明
Sn=1/2(an+1/an) Sn是前n项和 求a1,a2,a3.猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明
已知数列﹛An﹜满足An+Sn=n,由此猜想通项公式An并用数学归纳法证明
【高二】已知数列{an}满足Sn=2n-an 计算a1 a2 a3 猜想an 并用数学归纳法证明
数列{an}中,满足a1=1,Sn=n^2·an (n属于N正),猜想数列的通项公式,用数学归纳法证明
数列an满足a1=1/6,前n项和sn=n(n+1)an/2 1.求a2.a3,a4 2求an的通式并用数学归纳法证明
若数列{an}的前n项和为Sn,且满足:Sn=(3/2)an-2+n(n∈N*),用数学归纳法证明:an=3^(n-1)
已知正数列{an}的前n项和为sn,且an,sn,1/an成等差数列,求an的通项公式,并用数学归纳法证明.
已知{an}满足a1=1,an+1=an/an+2(n属於N*) (1)求a2 a3 a4 (2)猜想数列{an}的通项
已知数列{an}中a1=1/2,an+1=2an+1分之an[n€N+] 猜想通项公式,并用数学归纳法证明
已知数列{an}中,a1=2,an+a(n-1)=3^n猜想an的表达式并用数学归纳法加以证明