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(本小题12分)如图，正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，M、N分别为AB、BC的中点. （Ⅰ）求证：平

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 18:06:40
(本小题12分)
如图，正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，M、N分别为AB、BC的中点.
（Ⅰ）求证：平面B 1 MN⊥平面BB 1 D 1 D；
（II）当点P为棱DD 1 中点时，求直线MB 1 与平面A 1 C 1 P所成角的正弦值；
            

（1）略
（2）

（法一）（I）正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中， 平面ABCD， 平面ABCD， ，连结AC， M、N分别为AB、BC
的中点， MN//AC，又四边形ABCD是正方形， ， 平面BB 1 D 1 D，
又 平面B 1 MN，
平面B 1 MN 平面BB 1 D 1 D                                           （6分）
（II）设正方体棱长为2，取CD中点H，连C 1 H、MH，由于MH∥C 1 B 1 ，MH=C 1 B 1 ，所以四边形C 1 HM B 1 为平行四边形， M B 1 ∥C 1 H，所以直线C 1 H与平面A 1 C 1 P所成角θ即为直线MB 1 与平面A 1 C 1 P所成角。设H到平面的距离为h，∵P为DD 1 中点，所以A 1 P=C 1 P= , ， ，由 得，h= ，所以sinθ= ；                    （ 12分）
（法二）
以D为原点，DA、DC、DD 1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D 1 (0,0,2)，A 1 (2,0,2)，B 1 (2,2,2)，C 1 (0,2,2)，P(0,0,x)，M(2,1,0)，N(1,2,0)
（I）   ， ，  ，∴ ， ， ，  ， ， 平面BB 1 D 1 D，又 平面B 1 MN， 平面B 1 MN 平面BB 1 D 1 D                  （6分）
（II）设 为平面平面A 1 C 1 P的一个法向量， P为DD 1 中点，P（0，0，1）， ， ，则 ，也就是 ， ，令 ， 又 ,设MB 1 与平面A 1 C 1 P所成角为θ，
则
(本小题12分)如图，正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，M、N分别为AB、BC的中点. （Ⅰ）求证：平 本小题满分12分）如图，在棱长为 a 的正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F分别为棱AB和BC的中 （本小题满分14分）如图，在棱长为 a 的正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F分别为棱AB和BC的 （本小题满分12分）如图，棱长为a的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F、G分别为A 1 D 1 （本小题满分12分）如图，已知三棱锥P=ABC中，PA⊥PC，D为AB的中点，M为PB的中点，且AB=2PD.（1）求证 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,MNP分别是BC,CC',CD的中点,求证；平面AA'P⊥平面M 正方体ABCD-A`B`C`D`中,M、N、P分别是棱BC、CC`CD的中点,求证A`C垂直平面MNP 正方体ABCD—A'B'C'D'中 EF分别是棱AB,BC的中点 （本大题12分）如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F、G分别是CB、CD、CC （本小题满分12分）如图：已知正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 ，过BD 1 的平面分别交棱AA 1 和棱 如图,正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别是棱AA'和BB'的中点 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N,P分别是BC,CC',CD,的中点,求证：平面AA'P垂直于平面MND