求旋转抛物面z=x²+y²;到平面x+y+z=1的最短距离.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 17:04:54
求旋转抛物面z=x²+y²;到平面x+y+z=1的最短距离.
这题怎么理解呢?这两个面不是有交线么,怎么求最短距离呢?
这题怎么理解呢?这两个面不是有交线么,怎么求最短距离呢?
空间点(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)
设旋转抛物面z=x^2+y^2上的点为(x,y,z),则到平面x+y+z-1=0的距离为
d(x,y,z)=|x+y+z-1|/√3
令f(x,y,z)=d^2(x,y,z)=(x+y+z-1)^2/3,g(x,y,z)=z-(x^2+y^2)=0
则相当于求f(x)在约束条件g(x)=0下的极值
用拉格朗日乘数法,构造函数F(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)
分别对x,y,z,λ求导,并取导数为0,可得
dF/dx=2/3*(x+y+z-1)-λ*2x=0
dF/dy=2/3*(x+y+z-1)-λ*2y=0
dF/dz=2/3*(x+y+z-1)-λ=0
dF/dλ=z-(x^2+y^2)=0
联立上述方程,可解得
λ=-1,x=-1/2,y=-1/2,z=1/2
λ=2,x=1,y=1,z=2
代入距离公式可得
d(-1/2,-1/2,1/2)=|-1/2-1/2+1/2-1|/√3=√3/2
d(1,1,2)=|1+1+2-1|/√3=√3
∴抛物面上的点到平面的最短距离为√3/2
PS:一般的做法是这样的,不过呢,这两个曲面确实是相交的,有点吊诡呢
d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)
设旋转抛物面z=x^2+y^2上的点为(x,y,z),则到平面x+y+z-1=0的距离为
d(x,y,z)=|x+y+z-1|/√3
令f(x,y,z)=d^2(x,y,z)=(x+y+z-1)^2/3,g(x,y,z)=z-(x^2+y^2)=0
则相当于求f(x)在约束条件g(x)=0下的极值
用拉格朗日乘数法,构造函数F(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)
分别对x,y,z,λ求导,并取导数为0,可得
dF/dx=2/3*(x+y+z-1)-λ*2x=0
dF/dy=2/3*(x+y+z-1)-λ*2y=0
dF/dz=2/3*(x+y+z-1)-λ=0
dF/dλ=z-(x^2+y^2)=0
联立上述方程,可解得
λ=-1,x=-1/2,y=-1/2,z=1/2
λ=2,x=1,y=1,z=2
代入距离公式可得
d(-1/2,-1/2,1/2)=|-1/2-1/2+1/2-1|/√3=√3/2
d(1,1,2)=|1+1+2-1|/√3=√3
∴抛物面上的点到平面的最短距离为√3/2
PS:一般的做法是这样的,不过呢,这两个曲面确实是相交的,有点吊诡呢
求旋转抛物面z=x²+y²;到平面x+y+z=1的最短距离.
求旋转抛物面z=x^2+y^2与平面x+y-2z=2之间的最短距离?(详细)
抛物面z=x²+y²+1被平面x+y+z=3截成一椭圆,求该椭圆上的电到XoY平面的最长和最短距离
抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离.
求旋转抛物面Z=x∧2+y∧2与平面x+y-z=1之间的最短距离 (高数下)最好能用笔写下
抛物面z=x*2+y*2被平面x+y+z=1截得一椭圆,求原点到此椭圆的最长距离和最短距离
求平面x+y+z=2与曲面x^2-2y^2+2z^2=1(x,y,z>0)之间的最短距离
设∑是由旋转抛物面z=x^2+y^2,平面z=0及平面z=1所围成的区域,求三重积分∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdy
求原点到曲面(x-y)^2-z^2=1的最短距离.
求旋转抛物面z=x^2+y^2及平面z=1所围成的质量均匀分布的物体的形心
求椭球面2x^2+4y^2+z^2=4到平面2x+2y+z+5=0的最短距离
平面x+2y+3z=0到曲面z=x^2+2y的最短距离怎么求