已知动圆过定点F(0,2)且与定直线y=-2相切,（1）求动圆圆心的轨迹C的方程?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 15:38:01

已知动圆过定点F(0,2)且与定直线y=-2相切,（1）求动圆圆心的轨迹C的方程?
(2)若A.B是轨迹C的动弦,且A.B过F（0,2）分别以A.B为切点做轨迹的切线方程,设两切线交点为Q,证明AQ垂直BO?

(1) 设动圆圆心为(x,y),则因为动圆与定直线y=-2相切,其半径必为 |y-(-2)|=|y+2|.
所以,动圆的方程（以x‘,y’为自变量）为：(x'-x)^2 + (y'-y)^2 = (y+2)^2
而动圆过定点F(0,2),即(0,2)始终满足方程,所以：(0-x)^2 + (2-y)^2 = (y+2)^2
化简,得动圆圆心的轨迹C的方程：y= x^2 / 8
是一条抛物线.
(2) A.B是轨迹C的动弦,即A,B的坐标满足轨迹C的方程.设A为(xa,ya),B为(xb,yb),
则因QA是轨迹C的切线,其斜率为 xa / 4,同样,QB斜率为 xb / 4 .
而AB过F（0,2）,且A,B在轨迹C上,所以,
ya=xa^2/8,yb=xb^2/8,(ya-2)/xa=(yb-2)/xb
以前两式代入第三式,化为：(1/8) (xa xb +16) (xa-xb) = 0.
显然,AB是轨迹C的动弦,xa不可能等于xb,所以,只有 xa xb = -16.
所以,QA与QB的斜率乘积为 (xa / 4) * (xb / 4) = -1,
所以 QA与QB垂直.
（题目打错了吧,是QB或BQ,怎么是BO呢?BO,如果O是原点的话,也没必要过B做切线了,直接过A的切线和BO垂直就完了）