作业帮使用区间套定理证明dini定理.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/05 16:42:34
使用区间套定理证明dini定理.
你不说哪个Dini定理,我就暂时先给你下面这个dini定理的证明.如果你要的是Abel-Dini定理,请再说明.
若连续函数列{Fn(x)}在闭区间[a,b]上收敛于连续函数f(x),且对任意x∈[a,b],{Fn(x)}为单调数列,则{Fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).
用闭区间套定理只能反证.因为Dini定理是有限覆盖的正面应用,而有限覆盖是闭区间套的逆否,所以只能反证.使用二分区间法.
假设{Fn(x)}在[a,b]上不一致收敛于f(x).将区间[a,b]二等分,则在其中一个小区间上,{Fn(x)}不一致收敛于f(x).因此得到递缩区间套.挤出唯一点,设为t.任何含有t的足够小的闭区间,函数列{Fn(x)}都不会一致收敛于f(x).然而我们下面将证明并非如此.
现在考察t点.由于在t点,函数列{Fn(t)}收敛到f(t),故从足够大的项N以后,Fn(t)就不超过f(t)的正负c偏差,c是任给的正数.
[FN(t)-f(t)]之绝对值
若连续函数列{Fn(x)}在闭区间[a,b]上收敛于连续函数f(x),且对任意x∈[a,b],{Fn(x)}为单调数列,则{Fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).
用闭区间套定理只能反证.因为Dini定理是有限覆盖的正面应用,而有限覆盖是闭区间套的逆否,所以只能反证.使用二分区间法.
假设{Fn(x)}在[a,b]上不一致收敛于f(x).将区间[a,b]二等分,则在其中一个小区间上,{Fn(x)}不一致收敛于f(x).因此得到递缩区间套.挤出唯一点,设为t.任何含有t的足够小的闭区间,函数列{Fn(x)}都不会一致收敛于f(x).然而我们下面将证明并非如此.
现在考察t点.由于在t点,函数列{Fn(t)}收敛到f(t),故从足够大的项N以后,Fn(t)就不超过f(t)的正负c偏差,c是任给的正数.
[FN(t)-f(t)]之绝对值