定义在R上的函数f(x)满足,如果对任意X1,X2∈R,都有f(x1+x2/2)≦1/2,[f(x1),f(x2)],则
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 16:38:50
定义在R上的函数f(x)满足,如果对任意X1,X2∈R,都有f(x1+x2/2)≦1/2,[f(x1),f(x2)],则称函数f(x)是R上的凹函数.已知函数f(x)=ax2+x(a∈R且a≠0)
求证:(1)当a>0时,函数f(x)是凹函数
(2)如果x属于[0,1],|f(x)|
求证:(1)当a>0时,函数f(x)是凹函数
(2)如果x属于[0,1],|f(x)|
(1)当a>0时,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是函数f(x)=ax²+x上任意两点,
则PQ的中点M( (x1+x2)/2,(y1+y2)/2 )在抛物线的内部,
设抛物线上N点的坐标为( (x1+x2)/2,f[(x1+x2)/2]),则由图像知M在N的上方,
所以 f[(x1+x2)/2]≤(y1+y2)/2,即f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2))/2 ,当且仅当x1=x2时取等号.
所以函数f(x)是凹函数
(2) x属于[0,1],|f(x)|<1,即
-1<ax²+x<1,x∈[0,1]
当x=0时,上式显然成立,a可取任意实数;
当x≠0时,不等式可化为 (-1-x)/x²<a<(1-x)/x²,x∈(0,1]
所以 [(-1-x)/x²]max<a<[(1-x)/x²]min,x∈(0,1]
即 -2<a<0
注:函数g(x)=(-1-x)/x²,h(x)=(1-x)/x²的最大值和最小值,可用导数来求.如
g(x)=-1/x²- 1/x,x∈(0,1]
g'(x)=2/x³ +1/x² >0
所以最大值为g(1)=-2.
则PQ的中点M( (x1+x2)/2,(y1+y2)/2 )在抛物线的内部,
设抛物线上N点的坐标为( (x1+x2)/2,f[(x1+x2)/2]),则由图像知M在N的上方,
所以 f[(x1+x2)/2]≤(y1+y2)/2,即f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2))/2 ,当且仅当x1=x2时取等号.
所以函数f(x)是凹函数
(2) x属于[0,1],|f(x)|<1,即
-1<ax²+x<1,x∈[0,1]
当x=0时,上式显然成立,a可取任意实数;
当x≠0时,不等式可化为 (-1-x)/x²<a<(1-x)/x²,x∈(0,1]
所以 [(-1-x)/x²]max<a<[(1-x)/x²]min,x∈(0,1]
即 -2<a<0
注:函数g(x)=(-1-x)/x²,h(x)=(1-x)/x²的最大值和最小值,可用导数来求.如
g(x)=-1/x²- 1/x,x∈(0,1]
g'(x)=2/x³ +1/x² >0
所以最大值为g(1)=-2.
定义在R上的函数f(x)满足,如果对任意X1,X2∈R,都有f(x1+x2/2)≦1/2,[f(x1),f(x2)],则
若定义在R上的函数f(X)满足:对任意X1,X2都有f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)+1,则f(X)+1为偶函数
定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2属于(-∞,0],X1≠X2,有(x2-x1)(f(x1)-f(x2)
若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的
若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确
1、定义在R上的函数f(x)(f(x)≠0)满足对任意实数x1、x2都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(
若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f
若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x〉0时,f
已知函数f(x)在R上有定义,满足f(0)=1,且对于任意的x1,x2恒有f(x1-x2)=f(x1)-x2(2x-x1
设函数f(x)是定义域在R上的函数,若对任意X1,X2都有f(X1+X2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2)求f
定义域在R上的偶函数f(X)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2)则(f(x2)-f(x1))/(x2-x1