若关于x的不等式x2+12x-(12)n≥0对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]恒成立,则实常数λ的取值范围是 ___ .
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 19:52:07
若关于x的不等式x
关于x的不等式x2+
1
2x-(
1
2)n≥0对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]恒成立,
等价于x2+
1
2x≥(
1
2)nmax对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]恒成立,
∵(
1
2)nmax=
1
2,
∴x2+
1
2x≥
1
2对 x∈(-∞,λ]恒成立.
设y=x2+
1
2x,它的图象是开口向上,对称轴为x=-
1
4的抛物线,
∴当x≤-
1
4时,左边是单调减的,所以要使不等式恒成立,则λ2+
1
2λ≥
1
2,
解得λ≤-1,或λ≥
1
2(舍)
当x>-
1
4,左边的最小值就是在x=-
1
4时取到,
达到最小值时,x2+
1
2x=(-
1
4)2+
1
2•(-
1
4) =-
1
16,不满足不等式.
因此λ的范围就是 λ≤-1.
故答案为:(-∞,-1].
1
2x-(
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2)n≥0对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]恒成立,
等价于x2+
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2x≥(
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2)nmax对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]恒成立,
∵(
1
2)nmax=
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2,
∴x2+
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2x≥
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2对 x∈(-∞,λ]恒成立.
设y=x2+
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2x,它的图象是开口向上,对称轴为x=-
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4的抛物线,
∴当x≤-
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4时,左边是单调减的,所以要使不等式恒成立,则λ2+
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2λ≥
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2,
解得λ≤-1,或λ≥
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2(舍)
当x>-
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4,左边的最小值就是在x=-
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4时取到,
达到最小值时,x2+
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2x=(-
1
4)2+
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2•(-
1
4) =-
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16,不满足不等式.
因此λ的范围就是 λ≤-1.
故答案为:(-∞,-1].
若关于x的不等式x2+12x-(12)n≥0对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]恒成立,则实常数λ的取值范围是 ___ .
若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围是 ______.
若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立,则实数m的取值范围是( )
若关于x的不等式x^2+(1/2)x+(1/2)^n>=0对任意n属于正整数在x属于(-无穷,t]恒成立 求t的取值范围
若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+12a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 ___ .
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若不等式x^2-4x+9>mx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是------.
若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是______.