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（本小题满分14分）如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/08 07:35:26
（本小题满分14分）
如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

（1）求证：P-ABC为正四面体；
（2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V= , 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.
（1）见解析 （2）M点 满足AM=     
（3）构造棱长均为 ,底面为正方形或锐角为60°的菱形的平行六面体

试题分析： 
（1）∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.                 2分
又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°
∴P-ABC是正四面体.                  4分
（2）（5分）
作PO⊥面ABC于O，MN⊥面ABC于N，
∵A、M、P三点共线      ∴A、N、O三点共线，延长AO交BC于G
∴∠MBN=45°，MN//PO
∵P-ABC为棱长为1的正四面体
∴ AO= ，PO=              6分    
设MN=x，则BN=x，且
∴AM= ，AN=
∵AG是等边△ABC的中线             ∴∠BAN=30°
∴BN 2 =AN 2 +AB 2 -2AB AN cos30°                            8分
解得x=
∴AM=                                    9分
（3）（5分）
存在满足条件的平行六面体.                               10分
棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,则平行六面体的棱长均为 ,      11分
设该六面体一条侧棱长为A 1 B 1 ，与底面两条棱A 1 C 1 和A 1 D 1 的夹角为60°，设底面四边形的锐角为2α, 作B 1 E 1 ⊥底面A 1 C 1 D 1 于E 1 ，E 1 F 1 ⊥A 1 C 1
∵∠B 1 A 1 C 1 =∠B 1 A 1 D 1
∴∠C 1 A 1 E 1 =α 
则A 1 F 1 = ，A 1 E 1 = ，
B 1 E 1 =
则V=
解得 或    
∴2α=90°或60°                    13分
故构造棱长均为 ,底面为正方形或锐角为60°的菱形的平行六面体即满足要求.  14分
点评：该题综合性较强，涉及多知识点的交汇
（本小题满分14分）如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥ 如图,正三棱锥P－ABC的所有棱长都为4．点D,E,F分别 在棱PA,PB,PC上,满足PD＝PF＝1,PE＝2, （本小题满分12分）如图，已知三棱锥P=ABC中，PA⊥PC，D为AB的中点，M为PB的中点，且AB=2PD.（1）求证 已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点.求证：平面DEF∥平面ABC 已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别是PB，PC上的点，求△AEF的周长最小值． 如图,P是△ABC外的一点,连接PA、PB、PC,分别取PA、PB、PC的中点D、E、F,△ABC与△DEF相似吗?为什 如图,三棱锥P—ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=4,E为PC的中点,点F在PA上,且AF 正三棱锥P-ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值 在正三棱锥P-ABC中,AB=4,PA=8,过A作与PB,PC分别交于D和E的截面,则截面△ADE的周长的最小值为? 在三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC,AB垂直AC,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,连接DE,DF,EF, 在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D、E分别是点A在PB，PC上的射影，求证：（1）AD⊥平面PB 如图,已知点P为△ABC所在平面外一点,点D,E,F分别在射线PA,PB,PC上,并且PD/PA=PE/PB=PF/PC