作业帮高中数学有关不等式的证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 15:27:29
高中数学有关不等式的证明
1题 设Ai≥1,i＝1,2,3,………n,求证 （1+A1）（1+A2）………（1+An）≥2的n次方／n＋1
2题 设abc是三角形ABC的三边长 ,求证 a的平方 b(a-b)+b的平方c(b-c)+c的平方a(c-a)≥0
3题 设abc是某三角形的三边长,求证,a的平方(b+C-a)+b的平方(c+a-b)+c的平方(a+b-c)≤3abc
会哪个给哪个的答案，明早急用
1题 设Ai≥1,i＝1,2,3,………n,求证 （1+A1）（1+A2）………（1+An）≥2的n次方／n＋1
2题 设abc是三角形ABC的三边长 ,求证 a的平方 b(a-b)+b的平方c(b-c)+c的平方a(c-a)≥0
3题 设abc是某三角形的三边长,求证,a的平方(b+C-a)+b的平方(c+a-b)+c的平方(a+b-c)≤3abc
会哪个给哪个的答案，明早急用
1.这题可构造局部不等式来证明：
由均值不等式：(1+a1)>=2√a1
同理(1+a2)>=2√a2
…………
(1+an)>=2√an
以上格式相乘得：(1+a1)(1+a2)…(1+an)>=2^n*√(a1a2…an)
由于ai>=1,所以√(a1a2…an)>=1,因此2^n*√(a1a2…an)>=2^n>2^n/(n+1)
注：原式取不到等号.
所以(1+a1)(1+a2)…(1+an)>2^n/(n+1)
2.该题为第24届IMO试题,其实并不难做：
不妨设a=max{a,b,c},则原式因式分解为：
a^b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)>=0
a^3b-a^2b^2-a^2c^2+ac^3+b^3c-b^2c^2>=0
b(a^3-a^2b+b^2c-bc^2)-a^2c^2+ac^3>=0
b(a-b)(a-c)(a+b-c)-a^2b^2+2a^2bc+ab^3-ab^2c-abc^2-a^2c^2+ac^3>=0
b(a-b)(a-c)(a+b-c)+a(b^3-ab^2+2abc-b^2c-bc^2-ac^2+c^3)>=0
b(a-b)(a-c)(a+b-c)+a(b-c)^2(b+c-a)>=0
上式显然成立.证毕.
3.该式完全对称,不妨设a>=b>=c>0
则原不等式等价于：3abc-[a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)]>=0
a^3+b^3+c^3+3abc-a^2b-b^2a-a^2c-c^2a-bc^2-b^2c>=0
a^2(a-b)+b^2(b-a)+c(2ab-a^2-b^2)+c(c^2-bc+ab-ac)>=0
(a-b)^2(a+b-c)+c(b-c)(a-c)>=0
由三角形性质以及假设易知上式显然成立.
于是原不等式成立.
注：这是第6届IMO试题.
由均值不等式：(1+a1)>=2√a1
同理(1+a2)>=2√a2
…………
(1+an)>=2√an
以上格式相乘得：(1+a1)(1+a2)…(1+an)>=2^n*√(a1a2…an)
由于ai>=1,所以√(a1a2…an)>=1,因此2^n*√(a1a2…an)>=2^n>2^n/(n+1)
注：原式取不到等号.
所以(1+a1)(1+a2)…(1+an)>2^n/(n+1)
2.该题为第24届IMO试题,其实并不难做：
不妨设a=max{a,b,c},则原式因式分解为：
a^b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)>=0
a^3b-a^2b^2-a^2c^2+ac^3+b^3c-b^2c^2>=0
b(a^3-a^2b+b^2c-bc^2)-a^2c^2+ac^3>=0
b(a-b)(a-c)(a+b-c)-a^2b^2+2a^2bc+ab^3-ab^2c-abc^2-a^2c^2+ac^3>=0
b(a-b)(a-c)(a+b-c)+a(b^3-ab^2+2abc-b^2c-bc^2-ac^2+c^3)>=0
b(a-b)(a-c)(a+b-c)+a(b-c)^2(b+c-a)>=0
上式显然成立.证毕.
3.该式完全对称,不妨设a>=b>=c>0
则原不等式等价于：3abc-[a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)]>=0
a^3+b^3+c^3+3abc-a^2b-b^2a-a^2c-c^2a-bc^2-b^2c>=0
a^2(a-b)+b^2(b-a)+c(2ab-a^2-b^2)+c(c^2-bc+ab-ac)>=0
(a-b)^2(a+b-c)+c(b-c)(a-c)>=0
由三角形性质以及假设易知上式显然成立.
于是原不等式成立.
注：这是第6届IMO试题.