解析几何证明题证明存在不垂直于x轴的直线l与圆(x-1)^2+y2=9交于A、B两点,与椭圆x^2/4+y^2=1交于C
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 21:14:24
解析几何证明题
证明存在不垂直于x轴的直线l与圆(x-1)^2+y2=9交于A、B两点,与椭圆x^2/4+y^2=1交于C、D两点,且满足|AC|=|BD|,并求|AB|的取值范围
证明存在不垂直于x轴的直线l与圆(x-1)^2+y2=9交于A、B两点,与椭圆x^2/4+y^2=1交于C、D两点,且满足|AC|=|BD|,并求|AB|的取值范围
椭圆x^2/4+y^2=1①在圆(x-1)^2+y2=9②内部及边界,
∴由|AC|=|BD|,得AB与CD有相同中点,
设l:y=kx+b,③
把③代入①,x^2+4(k^2x^2+2bkx+b^2)=4,
整理得(1+4k^2)x^2+8bkx+4b^2-4=0,
△/16=4b^2k^2-(1+4k^2)(b^2-1)=-b^2+1+4k^2>0,④
(x1+x2)/2=-4bk/(1+4k^2),
把③代入②,x^2-2x+1+k^2x^2+2bkx+b^2=9,
整理得(1+k^2)x^2+(2bk-2)x+b^2-9=0,
△'/4=(bk-1)^2-(1+k^2)(b^2-9)=-2bk-b^2+10+9k^2>0,⑤
(x3+x4)/2=(1-bk)/(1+k^2),
AB与CD有相同中点,
∴(1-bk)/(1+k^2)=-4bk/(1+4k^2),
∴(1-bk)(1+4k^2)=-4bk(1+k^2),
∴1+3bk+4k^2=0,b=-(1+4k^2)/(3k),⑥
把⑥代入④,-(1+4k^2)^2/(9k^2)+1+4k^2>0,
-(1+4k^2)+9k^2>0,k^2>1/5,⑦
把⑥代入⑤,(1+4k^2)/(3k)*[2k-(1+4k^2)/(3k)]+10+9k^2>0,
两边都乘以9k^2,(1+4k^2)(2k^2-1)+90k^2+81k^4>0,
89k^4+88k^2-1>0,
(k^2+1)(89k^2-1)>0,k^2>1/89.⑧
由⑦,⑧,k^2>1/5,
∴k>√5/5或k1/5,被开方数=(5t-1)(t+1)/[t(4t+1)]=(5t^2+4t-1)/(4t^2+t),记为g(t),
g'(t)=[(10t+4)(4t^2+t)-(8t+1)(5t^2+4t-1)]/(4t^2+t)^2
=(-11t^2+8t+1)/(4t^2+t)^2
=-11[t-(4+3√3)/11][t-(4-3√3)/11]/(4t^2+t)^2,
1/5
∴由|AC|=|BD|,得AB与CD有相同中点,
设l:y=kx+b,③
把③代入①,x^2+4(k^2x^2+2bkx+b^2)=4,
整理得(1+4k^2)x^2+8bkx+4b^2-4=0,
△/16=4b^2k^2-(1+4k^2)(b^2-1)=-b^2+1+4k^2>0,④
(x1+x2)/2=-4bk/(1+4k^2),
把③代入②,x^2-2x+1+k^2x^2+2bkx+b^2=9,
整理得(1+k^2)x^2+(2bk-2)x+b^2-9=0,
△'/4=(bk-1)^2-(1+k^2)(b^2-9)=-2bk-b^2+10+9k^2>0,⑤
(x3+x4)/2=(1-bk)/(1+k^2),
AB与CD有相同中点,
∴(1-bk)/(1+k^2)=-4bk/(1+4k^2),
∴(1-bk)(1+4k^2)=-4bk(1+k^2),
∴1+3bk+4k^2=0,b=-(1+4k^2)/(3k),⑥
把⑥代入④,-(1+4k^2)^2/(9k^2)+1+4k^2>0,
-(1+4k^2)+9k^2>0,k^2>1/5,⑦
把⑥代入⑤,(1+4k^2)/(3k)*[2k-(1+4k^2)/(3k)]+10+9k^2>0,
两边都乘以9k^2,(1+4k^2)(2k^2-1)+90k^2+81k^4>0,
89k^4+88k^2-1>0,
(k^2+1)(89k^2-1)>0,k^2>1/89.⑧
由⑦,⑧,k^2>1/5,
∴k>√5/5或k1/5,被开方数=(5t-1)(t+1)/[t(4t+1)]=(5t^2+4t-1)/(4t^2+t),记为g(t),
g'(t)=[(10t+4)(4t^2+t)-(8t+1)(5t^2+4t-1)]/(4t^2+t)^2
=(-11t^2+8t+1)/(4t^2+t)^2
=-11[t-(4+3√3)/11][t-(4-3√3)/11]/(4t^2+t)^2,
1/5
解析几何证明题证明存在不垂直于x轴的直线l与圆(x-1)^2+y2=9交于A、B两点,与椭圆x^2/4+y^2=1交于C
高中数学解析几何:已知椭圆E:(x^2)/4+y^2=1,直线L:x=my+1与椭圆交于不同的两点A,B
解析几何代数题,已知椭圆x2/4+y2/3=1,过点(0,-2)的直线l交椭圆于A,B两点,交X轴于P点,点A关于X轴,
解析几何题 【急】过椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1的左焦点f的直线l交椭圆于A B两点,交直线x=-4于点C,是
如图,抛物线y=x∧2-4x+1与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.
已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,设直线l:y=x/2+m与椭圆交于A B两点,线段AB的垂直平分线交X轴与点T,当m
设动直线l垂直于x轴,且与椭圆x²+2y²=4交于A,B两点,p是l上点,且PA向量×PB向量=1,
设动直线∫垂直于X轴,且与椭圆x²+2y²=4交于A,B两点,P是∫上满足PA·PB=1的点,求点P
已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若椭圆C上存在点P,使得向量OP=向量OA+向
设动直线l垂直于x轴,且与椭圆x平方+2y平方=4交于A,B两点,P是l上满足PA向量乘PB向量=负1的点(1)求动点.
设动直线L垂直于x轴,且与椭圆x平方+2y平方=4交于A,B两点,P是l上满足PA向量乘PB向量=1的点,求P方程
过椭圆x^2 /5 +y^2 =1 的右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的长