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完成外心定理,内心定理和旁心定理的证明

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/09 03:23:42
完成外心定理,内心定理和旁心定理的证明
如题
外心定理
已知：有一△ABC,O是它的外接圆圆心,F是AB中点,E是AC中点 　　证明:AO=BO=CO 在△AFO与△BFO中 　　AF=BF 　　FO=FO 　　∠AFO=∠BFO=90°(垂直平分线) 　　∴△AOF全等于△FOB(SAS)
∴AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)
在△AOE与△ECO中 　　AE=EC 　　EO=EO 　　∠AEO=∠CEO(垂直平分线)
∴△AOE全等于△COE(SAS) 　　∴AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)
∵AO=BO(两个三角形全等,三边对应等) 　　又∵AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)
∴AO=BO=CO 　　即O为△ABC的外接圆的圆心 　　也可以证得三个角平分线交于一点.
内心定理
证明：△ABC中,AD是∠A的角平分线,D在BC上,abc是角的对边ABC,d=AD.由于正弦定理b/sinB=c/sinC d=R1sinB=R2sinC,R1是△ABD的外接圆半径,R2是△ACD的外接圆半径,所以R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=R1sinBAD,CD=R2sinCAD,∠CAD=∠BAD,所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC
旁心定理
证明:EO=FO=DO 　　在△ADO与△AFO中:
∠AFO=∠ADO 　　∠DAO=∠FAO(角平分线) 　　AO=AO(公共边)
∴△ADO与△AFO全等 　　∴
DO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
在△FCO与△CEO中:
∠CFO=∠ACEO 　　∠ECO=∠FCO(角平分线) 　　CO=CO(公共边)
∴△FCO与△CEO全等
∴EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
∵EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵EO=DO(两个三角形全等,三边对应等)
∴EO=FO=DO
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