是否存在常数a、b、c,使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)=an^4+bn
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/18 14:44:45
是否存在常数a、b、c,使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)=an^4+bn^2+c对一切正整数n都成立?证明你的结论.
过程
过程
1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)
=(1+2+..+n)*n^2-(1^3+2^3+..+n^3)
其中:1+2+3+..+n=n*(n+1)/2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
所以:
1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)
=(1+2+..+n)*n^2-(1^3+2^3+..+n^3)
=n^3*(n+1)/2 -[n(n+1)/2]^2
=n*(n+1)(2n^2-n^2-n)/4
=(n^2+n)(n^2-n)/4
=(n^4-n^2)/4
对比an^4+bn^2+c
a=1/4,b=-1/4,c=0
所以存在常数a、b、c,使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)=an^4+bn^2+c对一切正整数n都成立.
补充:
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
=(1+2+..+n)*n^2-(1^3+2^3+..+n^3)
其中:1+2+3+..+n=n*(n+1)/2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
所以:
1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)
=(1+2+..+n)*n^2-(1^3+2^3+..+n^3)
=n^3*(n+1)/2 -[n(n+1)/2]^2
=n*(n+1)(2n^2-n^2-n)/4
=(n^2+n)(n^2-n)/4
=(n^4-n^2)/4
对比an^4+bn^2+c
a=1/4,b=-1/4,c=0
所以存在常数a、b、c,使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)=an^4+bn^2+c对一切正整数n都成立.
补充:
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
是否存在常数a、b、c,使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)=an^4+bn
是否存在常数abc,使得等式1*2^2+2*3^2+.+n(n+1)^n=n(n+1)(an^2+bn+c)/12成立?
是否存在常数a,b,c,使等式1*2^2+2*3^2+.+n(n+1)^2=((n+n^2)/12)(bn+c+an^2
是否存在常数a,b,c,使等式1^2+3^2……(2n-1)^2=an(bn^2+c)/3
是否存在常数a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3对任
是否存在常数a,b,c,是等式1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=an/3(bn^2+c)对任意正整数n都
a(n+1)=2an-a(n-1) 3bn-b(n-1)=n
是否存在常数A,B使等式:1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+……+N(N^2-N^2)=
yi ge 是否存在常数a,b使等式1^2/(1*3)+2^2/(3*5)+.+n^2/(2n-1)*(2n+1)=(a
设bn=(n-1)/(an-2),(n大于等于2),an=n^a-n+2,且b(n+1)+b(n+2)+...b(2n+
是否存在常数A,B,C,使等式1*2的平方加2*3的平方一直加到N*(N加1)的平方=
设an=1+1/2+1/3+...+1/n是否存在关于n的整式g(n),使得等式a1+a2+...+a(n-1)=g(n