证明多项式a0*x^n+a1*x^n-1+a2*x^n-2+.+...an=0当n为奇数时,至少有一实根.(a0!=0)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/18 13:23:40
证明多项式a0*x^n+a1*x^n-1+a2*x^n-2+.+...an=0当n为奇数时,至少有一实根.(a0!=0)
不妨设a0 > 0.
我们证明x为充分大的正实数时,多项式取正值,而x为绝对值充分大的负实数时取负值.
于是存在取零的点,即实根.
实际上,当|x| > |a1/a0|+|a2/a0|+...+|an/a0|+1.
有|a0·x^n| > |a1·x^n|+|a2·x^n|+...+|an·x^n|
> |a1·x^(n-1)|+|a2·x^(n-2)|+...+|an|
≥ |a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an|.
由a0 > 0,若x > 0,则a0·x^n > 0,有a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an > 0.
由a0 > 0,n是奇数,若x < 0,则a0·x^n < 0,有a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an < 0.
而a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an关于x连续,故存在零点.
另一种方法,由代数基本定理,n次方程有n个复根.
而实系数一元多项式方程虚根成对,但n是奇数,故存在实根.
我们证明x为充分大的正实数时,多项式取正值,而x为绝对值充分大的负实数时取负值.
于是存在取零的点,即实根.
实际上,当|x| > |a1/a0|+|a2/a0|+...+|an/a0|+1.
有|a0·x^n| > |a1·x^n|+|a2·x^n|+...+|an·x^n|
> |a1·x^(n-1)|+|a2·x^(n-2)|+...+|an|
≥ |a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an|.
由a0 > 0,若x > 0,则a0·x^n > 0,有a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an > 0.
由a0 > 0,n是奇数,若x < 0,则a0·x^n < 0,有a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an < 0.
而a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an关于x连续,故存在零点.
另一种方法,由代数基本定理,n次方程有n个复根.
而实系数一元多项式方程虚根成对,但n是奇数,故存在实根.
a0+0.5a1+.+an/(n+1)=0,证明f(x)=a0+a1x+..+anx^n在(0,1)内至少有1个零根
在恒等式(1+X)^n=a0+a1X+a2X^2+……+anX^n(n为偶数)中,a0+a1+a2+……+an=?
已知(x+1)^n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)^2+...+an(x-1)^n,其中n≥2,n∈N*.设bn=
(a0)+(a1)/2+.+(an)/n+1=0证明f(x)=a0+a1x+.+anx的n次方在开去间0,1内至少有一个
设1+(1+x)+(1+x)^2+……+(1+x)^n=a0+a1*x+a2*x^2+……an*x^n,lim[(na1
(理) 已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a0+a1+a2+…+an=16,则自然数n
已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+a2+...+a(n-1)(n>=1),则当n>=1时,an=?
已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+a2+...+a(n-1) (n≥2且n属于N*),则当n属于N*时an
泰勒公式证明中的问题本人菜鸟.对 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+……an(x-x0)^n 在
设1+(1+x)+(1+x)^2+……+(1+x)^n=a0+a1*x+a2*x2+……an*xn,lim[(na1)/
已知函数f(x)={n^2(当n为奇数时);-n^2(当n为偶数时),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3
一个实系数方程x^n+a1*x^n-1+a2*x^n-2+.+...an=0a1,a2,a3...,an都是整数证明:如