作业帮已知f（x）=xlnx．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/08/27 08:56:42
已知f（x）=xlnx．
（1）求g（x）=
（1）求g（x）=
| f(x)+k |
| x |
（1）g（x）=lnx+
k
x，x＞0，g′（x）=
x−k
x2，（x＞0），
当k≤0时，g′（x）＞0，所以函数g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
当k＞0时，g′（x）＞0，得x＞k；g′（x）＜0，得0＜x＜k
∴增区间（k，+∞），减区间为（0，k），
（2）设h（x）=xlnx-2x+e（x≥1），
令h′=lnx-1=0得x=e，当x变化时，h（x），h′的变化情况如表
x 1 （1，e） e （e，+∞）
h′（x） - 0 +
h（x） e-2 ↘ 0 ↗所以h（x）≥0，∴f（x）≥2x-e
设G（x）=lnx-
x2−1
2x（x≥1），G′（x）=
1
x-
1
2(1+
1
x2)=
−(x−1)2
2x2≤0，
当且仅当x=1时，G′（x）=0，
所以G（x）为减函数，所以G（x）≤G（1）=0，
所以lnx-
x2−1
2x≤0，
所以xlnx≤
x2−1
2，（x≥1）成立，
所以f（x）≤
x2−1
2，
综上，当x≥1时，
2x-e≤f（x）≤
x2−1
2恒成立．
（3）∵f′（x）=lnx+1，
∴lnx0+1=
f(x1)−f(x2)
x1−x2=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2，
∴lnx0=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2-1，
∴lnx0-lnx1=
x1
k
x，x＞0，g′（x）=
x−k
x2，（x＞0），
当k≤0时，g′（x）＞0，所以函数g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
当k＞0时，g′（x）＞0，得x＞k；g′（x）＜0，得0＜x＜k
∴增区间（k，+∞），减区间为（0，k），
（2）设h（x）=xlnx-2x+e（x≥1），
令h′=lnx-1=0得x=e，当x变化时，h（x），h′的变化情况如表
x 1 （1，e） e （e，+∞）
h′（x） - 0 +
h（x） e-2 ↘ 0 ↗所以h（x）≥0，∴f（x）≥2x-e
设G（x）=lnx-
x2−1
2x（x≥1），G′（x）=
1
x-
1
2(1+
1
x2)=
−(x−1)2
2x2≤0，
当且仅当x=1时，G′（x）=0，
所以G（x）为减函数，所以G（x）≤G（1）=0，
所以lnx-
x2−1
2x≤0，
所以xlnx≤
x2−1
2，（x≥1）成立，
所以f（x）≤
x2−1
2，
综上，当x≥1时，
2x-e≤f（x）≤
x2−1
2恒成立．
（3）∵f′（x）=lnx+1，
∴lnx0+1=
f(x1)−f(x2)
x1−x2=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2，
∴lnx0=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2-1，
∴lnx0-lnx1=
x1