已知f(x)=xlnx.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/27 08:56:42
已知f(x)=xlnx.
(1)求g(x)=
(1)求g(x)=
f(x)+k |
x |
(1)g(x)=lnx+
k
x,x>0,g′(x)=
x−k
x2,(x>0),
当k≤0时,g′(x)>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+∞),无减区间;
当k>0时,g′(x)>0,得x>k;g′(x)<0,得0<x<k
∴增区间(k,+∞),减区间为(0,k),
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x≥1),
令h′=lnx-1=0得x=e,当x变化时,h(x),h′的变化情况如表
x 1 (1,e) e (e,+∞)
h′(x) - 0 +
h(x) e-2 ↘ 0 ↗所以h(x)≥0,∴f(x)≥2x-e
设G(x)=lnx-
x2−1
2x(x≥1),G′(x)=
1
x-
1
2(1+
1
x2)=
−(x−1)2
2x2≤0,
当且仅当x=1时,G′(x)=0,
所以G(x)为减函数,所以G(x)≤G(1)=0,
所以lnx-
x2−1
2x≤0,
所以xlnx≤
x2−1
2,(x≥1)成立,
所以f(x)≤
x2−1
2,
综上,当x≥1时,
2x-e≤f(x)≤
x2−1
2恒成立.
(3)∵f′(x)=lnx+1,
∴lnx0+1=
f(x1)−f(x2)
x1−x2=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2,
∴lnx0=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2-1,
∴lnx0-lnx1=
x1
k
x,x>0,g′(x)=
x−k
x2,(x>0),
当k≤0时,g′(x)>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+∞),无减区间;
当k>0时,g′(x)>0,得x>k;g′(x)<0,得0<x<k
∴增区间(k,+∞),减区间为(0,k),
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x≥1),
令h′=lnx-1=0得x=e,当x变化时,h(x),h′的变化情况如表
x 1 (1,e) e (e,+∞)
h′(x) - 0 +
h(x) e-2 ↘ 0 ↗所以h(x)≥0,∴f(x)≥2x-e
设G(x)=lnx-
x2−1
2x(x≥1),G′(x)=
1
x-
1
2(1+
1
x2)=
−(x−1)2
2x2≤0,
当且仅当x=1时,G′(x)=0,
所以G(x)为减函数,所以G(x)≤G(1)=0,
所以lnx-
x2−1
2x≤0,
所以xlnx≤
x2−1
2,(x≥1)成立,
所以f(x)≤
x2−1
2,
综上,当x≥1时,
2x-e≤f(x)≤
x2−1
2恒成立.
(3)∵f′(x)=lnx+1,
∴lnx0+1=
f(x1)−f(x2)
x1−x2=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2,
∴lnx0=
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2-1,
∴lnx0-lnx1=
x1