已知函数f(x)=a(x2-1)-xlnx.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 08:20:25
已知函数f(x)=a(x2-1)-xlnx.
(I)当a=
时,求函数f(x)
(I)当a=
1 |
2 |
(Ⅰ)当a=
1
2时,f(x)=
1
2(x2−1)−xlnx,所以f′(x)=x-lnx-1.
函数f(x)的定义域为(0,+∞).
设g(x)=x-lnx-1,则g′(x)=1-
1
x.
令g′(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,函数g(x)是减函数;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)是增函数.
函数g(x)的最小值为g(1)=0.
所以g(x)=f′(x)≥0(仅当x=1时取等号),f(x)在(0,+∞)是增函数.
(Ⅱ)由函数f(x)=a(x2-1)-xlnx,则f′(x)=2ax-lnx-1.
(1)若a≥
1
2,则由(Ⅰ)知,f′(x)=(2a-1)x+(x-lnx-1)>0,f(x)是增函数,
此时f(x)≥f(1)=0,不等式恒成立.
(2)若0<a<
1
2,设h(x)=2ax-lnx-1,h′(x)=2a-
1
x.
当x∈(1,
1
2a)时,h′(x)<0,函数h(x)是减函数.
则f′(x)=h(x)<h(1)=2a-1<0,f(x)在(1,
1
2a)是减函数.
这时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
(3)若a≤0时,则当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)是减函数,
此时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
综上所述,a的取值范围是[
1
2,+∞).
1
2时,f(x)=
1
2(x2−1)−xlnx,所以f′(x)=x-lnx-1.
函数f(x)的定义域为(0,+∞).
设g(x)=x-lnx-1,则g′(x)=1-
1
x.
令g′(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,函数g(x)是减函数;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)是增函数.
函数g(x)的最小值为g(1)=0.
所以g(x)=f′(x)≥0(仅当x=1时取等号),f(x)在(0,+∞)是增函数.
(Ⅱ)由函数f(x)=a(x2-1)-xlnx,则f′(x)=2ax-lnx-1.
(1)若a≥
1
2,则由(Ⅰ)知,f′(x)=(2a-1)x+(x-lnx-1)>0,f(x)是增函数,
此时f(x)≥f(1)=0,不等式恒成立.
(2)若0<a<
1
2,设h(x)=2ax-lnx-1,h′(x)=2a-
1
x.
当x∈(1,
1
2a)时,h′(x)<0,函数h(x)是减函数.
则f′(x)=h(x)<h(1)=2a-1<0,f(x)在(1,
1
2a)是减函数.
这时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
(3)若a≤0时,则当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)是减函数,
此时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
综上所述,a的取值范围是[
1
2,+∞).
已知函数f(x)=a(x2-1)-xlnx.
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
已知函数f(x)=xlnx+(a-1)x(a∈R).
已知函数f(x)=xlnx
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,
已知函数f(x)=xlnx.
(2014•红桥区二模)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).
已知函数f(x)=ax2+x-xlnx,
已知函数f(x)=xlnx,求函数f(x)的最小值.
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=ax²-a(a∈R)
已知函数f(x)=ax+a-1+xlnx,求f(x)的单调区间
(2015四川)已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0. (Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨