设f(x)是区间(a,b)上的连续函数,a <x1<x2<x3<b,证明:至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ)=1/3
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/28 05:39:57
设f(x)是区间(a,b)上的连续函数,a <x1<x2<x3<b,证明:至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ)=1/3 [f(x1)+f(x2)+f(x3)]
∵f(x)是区间(a,b)上的连续函数
∴f(x)在区间(a,b)上必有最大值Fmax,也必有最小值Fmin
同时,对于任一实数r ,若有Fmin≤r≤Fmax,则:
直线 y = r与曲线 y = f(x)必有至少1个交点,即:
至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ) = r
现考察1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≤ 1/3 ×(Fmax+Fmax+Fmax)= Fmax;
同理:1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≥Fmin
令r = 1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)],即得所求结论.
∴f(x)在区间(a,b)上必有最大值Fmax,也必有最小值Fmin
同时,对于任一实数r ,若有Fmin≤r≤Fmax,则:
直线 y = r与曲线 y = f(x)必有至少1个交点,即:
至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ) = r
现考察1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≤ 1/3 ×(Fmax+Fmax+Fmax)= Fmax;
同理:1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≥Fmin
令r = 1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)],即得所求结论.
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