f(x)在X是有理数的时候是0 在无理数的时候是X,如何证明其仅仅在0处可导?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/14 14:27:46

此函数在0处不可导.
可以考虑 f(x)在X是有理数的时候是0 在无理数的时候是X^2.
在x0不等于0的地方,f(x0) 不连续,因为存在有理数序列 xi --> x0,f(xi) =0 同时存在无理数序列 yi --> x0,f(yi)= yi^2 --> x0^2 不等于0.不连续,于是不可能可导.
当 x0=0 时,
x--->0 |f(x)| 0
所以在0处连续.
x--->0 |f(x)/x| 0
即导数存在,并=0.
你原来给出的函数,在x=0处,
有理点x--->0 f(x)/x = 0
无理点x--->0 f(x)/x = 1
所以导数不存在.

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