已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/25 18:49:51
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项.
(1)求证:an=2an-1+1(n≥2);
(2)求证:数列{an+1}为等比数列;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)求证:an=2an-1+1(n≥2);
(2)求证:数列{an+1}为等比数列;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)证明:∵an是n与Sn的等差中项,
∴2an=n+Sn①
于是2an-1=n-1+Sn-1(n≥2)②
①-②得2an-2an-1=1+an
∴an=2an-1+1(n≥2)
(2)证明:当n≥2时,由an=2an-1+1得 an+1=2(an-1+1)
∴
an+1
an−1+1=2
当n=1时,2a1=1+S1即 2a1=1+a1
∴a1=1,a1+1=2
所以{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列
(3)∵an+1=2•2n-1=2n
∴an=2n-1
∴Sn=(21+22+…+2n)−n=
2(1−2n)
1−2−n=2n+1−2−n
∴2an=n+Sn①
于是2an-1=n-1+Sn-1(n≥2)②
①-②得2an-2an-1=1+an
∴an=2an-1+1(n≥2)
(2)证明:当n≥2时,由an=2an-1+1得 an+1=2(an-1+1)
∴
an+1
an−1+1=2
当n=1时,2a1=1+S1即 2a1=1+a1
∴a1=1,a1+1=2
所以{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列
(3)∵an+1=2•2n-1=2n
∴an=2n-1
∴Sn=(21+22+…+2n)−n=
2(1−2n)
1−2−n=2n+1−2−n
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项,求数列{an}的通项公式
已知数列an的前n项和为sn,且对任意正整数n都有an是n与sn的等差中项(1)bn=an+1,求bn
设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为sn,已知对任意n,sn是an的平方和an的等差
设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=4096.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,有Sn、an、n成等差数列
设数列an的各项都为正数,其前n项和为sn,已知对其任意n属于N*,sn是an^2和an的等差中项.
设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意正整数,都有Sn=n(a1+an)/2,证明{an}是等差数列.
设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=4096
设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对所有的正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,求:数列{a
已知数列an的前n项和为Sn,且对一切正整数n都有Sn=n^2+1/2an.
已知数列{An}的前n项和为Sn,且Sn是An与1的等差中项,则An=