作业帮已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an是n与Sn的等差中项．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/25 18:49:51
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an是n与Sn的等差中项．
（1）求证：an=2an-1+1（n≥2）；
（2）求证：数列{an+1}为等比数列；
（3）求数列{an}的前n项和Sn．
（1）求证：an=2an-1+1（n≥2）；
（2）求证：数列{an+1}为等比数列；
（3）求数列{an}的前n项和Sn．
（1）证明：∵an是n与Sn的等差中项，
∴2an=n+Sn①
于是2an-1=n-1+Sn-1（n≥2）②
①-②得2an-2an-1=1+an
∴an=2an-1+1（n≥2）
（2）证明：当n≥2时，由an=2an-1+1得 an+1=2（an-1+1）
∴
an+1
an−1+1＝2
当n=1时，2a1=1+S1即 2a1=1+a1
∴a1=1，a1+1=2
所以{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
（3）∵an+1=2•2n-1=2n
∴an=2n-1
∴Sn＝(21+22+…+2n)−n＝
2(1−2n)
1−2−n＝2n+1−2−n
∴2an=n+Sn①
于是2an-1=n-1+Sn-1（n≥2）②
①-②得2an-2an-1=1+an
∴an=2an-1+1（n≥2）
（2）证明：当n≥2时，由an=2an-1+1得 an+1=2（an-1+1）
∴
an+1
an−1+1＝2
当n=1时，2a1=1+S1即 2a1=1+a1
∴a1=1，a1+1=2
所以{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
（3）∵an+1=2•2n-1=2n
∴an=2n-1
∴Sn＝(21+22+…+2n)−n＝
2(1−2n)
1−2−n＝2n+1−2−n
已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项,求数列{an}的通项公式
已知数列an的前n项和为sn,且对任意正整数n都有an是n与sn的等差中项(1)bn=an+1,求bn
设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为sn,已知对任意n,sn是an的平方和an的等差
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4096．
已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且对任意正整数n,有Sn、an、n成等差数列
设数列an的各项都为正数,其前n项和为sn,已知对其任意n属于N*,sn是an^2和an的等差中项.
设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意正整数,都有Sn=n(a1+an)/2,证明{an}是等差数列.
设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=4096
设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对所有的正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求：数列{a
已知数列an的前n项和为Sn,且对一切正整数n都有Sn=n^2+1/2an.
已知数列{An}的前n项和为Sn,且Sn是An与1的等差中项,则An=